a>0,b>0时,求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
时间: 2023-06-24 13:06:00 浏览: 53
首先,我们可以对于给定的式子进行展开:
(b+2)^2/a + (a+2)^2/b = b^2/a + 4b/a + 4 + a^2/b + 4a/b + 4
接下来,我们可以将式子中的两个分式合并,并且利用均值不等式(AM-GM inequality)求解最小值。
(b^2/a + a^2/b)/2 >= sqrt(b^2/a * a^2/b) = 2
因此,b^2/a + a^2/b >= 4
同时,我们可以观察到,当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,上述不等式取到等号。
因此,当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,原式的最小值为:
b^2/a + a^2/b + 8 = 2b^2/a + 2a^2/b + 4 + 4b/a + 4a/b
= (b/a + a/b)(2b/a + 2a/b) + 4(b/a + a/b) + 4
= 10 + 4 * (b/a + a/b)
因此,最小值为 18。当且仅当 b/a = 2,a/b = 1/2 时,原式取得最小值。
相关问题
已知a>0,b>0求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
根据柯西不等式,有:
$$(b+2)^2/a+(a+2)^2/b\geq [(b+2)\sqrt{2}+2\sqrt{a}]^2/(a+b)+[(a+2)\sqrt{2}+2\sqrt{b}]^2/(a+b)$$
$$=[(b+2)\sqrt{2}+2\sqrt{a}]^2+[(a+2)\sqrt{2}+2\sqrt{b}]^2)/(a+b)$$
$$=a+b+4+2\sqrt{2}(a+b+4)$$
因此,当$a+b=4/\sqrt{2}$时,取等号,最小值为$4+8\sqrt{2}$。
已知a>0,b>0.求(b+2)^2/a+(a+2)^2/b的最小值
### 回答1:
根据均值不等式,有
$$\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geq \frac{[(b+2)\sqrt{\frac{1}{a}}+(a+2)\sqrt{\frac{1}{b}}]^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
化简得
$$\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b} \geq \frac{(a+b+4)^2}{\frac{a+b}{ab}}=4(ab+a+b)+\frac{16}{ab}+16$$
由于$a,b>0$,故当$ab=4$时,$\frac{16}{ab}=4$取得最小值。所以原式的最小值为$4(a+b)+4\sqrt{ab}+16$,当且仅当$a=2,b=2$时取得最小值,即答案为$4\times 2+4\times 2+16=32$。
### 回答2:
要求表达式的最小值,可以通过数学方法求解。
已知的表达式为:(b^2)^2/a * (a^2)^2/b
我们可以对该表达式进行化简:
(b^2)^2/a * (a^2)^2/b = (b^4/a) * (a^4/b) = b^4 * a^4 / (a*b)
再进一步化简得:(b^4 * a^4) / (a*b) = (b^3 * a^3)
由于a>0,b>0,所以b^3 * a^3 也一定大于0。
根据数学原理,一个非负的平方数的最小值为0,即在表达式中,最小值为0。
所以,(b^2)^2/a * (a^2)^2/b的最小值为0。
### 回答3:
要求最小值,意味着要找到一个使得表达式$(b^2)^2/a(a^2)^2/b$取得最小值的条件。
根据不等式的性质,当且仅当两个比值相等时,它们的商取得最小值。换言之,要使得表达式取得最小值,则需要满足$b^2/a=a^2/b$。
可以通过将等式进行变形,得到$b^4=a^4$。这意味着$b$和$a$的平方根必须相等。由于$a>0$和$b>0$,所以可以得到$b=a$。
将$b=a$代入到原始表达式中,得到$(a^2)^2/a(a^2)^2/a=a^2/a=1$。
因此,当$b=a$时,原始表达式的最小值为1。
综上所述,最小值为1。