用梯度下降法求解单变量线性回归 每次迭代的公式是什么

单变量线性回归的梯度下降法迭代公式如下：

$$
\theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}
$$

其中，$\theta_j$ 表示第 $j$ 个模型参数的值，$\alpha$ 表示学习率，$m$ 表示训练样本数，$h_{\theta}(x^{(i)})$ 表示模型对第 $i$ 个训练样本的预测值，$y^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练样本的真实值，$x_j^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练样本的第 $j$ 个特征值。

上述公式表示，在每次迭代中，我们将当前的 $\theta_j$ 减去学习率 $\alpha$ 乘以误差 $(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})$ 与第 $j$ 个特征值 $x_j^{(i)}$ 的乘积的平均值，即可更新模型参数 $\theta_j$。

在实际应用中，我们需要对所有的模型参数 $\theta_j$ 进行更新，即执行多次迭代，直到达到收敛条件。

相关问题

正规方程求解多变量线性回归的公式是怎样的

对于多变量线性回归问题，我们可以使用正规方程方法求解模型的最优参数。具体而言，假设我们有 $m$ 个训练样本，每个样本有 $n$ 个特征，我们可以将所有的训练样本表示为一个 $m \times n$ 的矩阵 $X$，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。同时，我们还有一个 $m \times 1$ 的向量 $y$，表示每个样本的目标值。

则多变量线性回归的正规方程解为：

$$\theta = (X^T X)^{-1} X^T y$$

其中，$\theta$ 是一个 $n \times 1$ 的向量，表示模型的参数向量。需要注意的是，$X^T X$ 必须是一个可逆矩阵，否则无法求逆。在实际应用中，如果 $X^T X$ 不可逆，我们可以通过使用伪逆来求解模型参数。

使用正规方程求解多变量线性回归的优点是，它可以直接得到最优参数，无需进行迭代优化，因此速度比梯度下降等迭代算法快。同时，正规方程还可以避免梯度下降等迭代算法中可能出现的局部最优解问题。

需要注意的是，如果特征之间存在较大的相关性，那么 $X^T X$ 可能会接近于奇异矩阵，导致求逆之后数值不稳定。为了避免这个问题，可以使用特征缩放等方法来减小特征之间的相关性。

python梯度下降法求解线性回归模型

Python中的梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解线性回归模型中的参数，使得损失函数最小化。对于线性回归，我们的目标通常是找到一个最佳拟合直线，使得数据点到这条直线的距离平方和最小。以下是基本步骤：

1. **初始化**：首先选择一个随机的权重向量`w`作为初始估计。

2. **计算损失函数**：线性回归的损失函数通常选择均方误差(MSE)，即所有样本预测值与真实值之差的平方和除以样本数。

3. **计算梯度**：对每个训练样本，计算损失函数关于权重向量的偏导数，即梯度。对于线性回归，梯度等于预测值与实际值的偏差乘以样本对应的特征值。

4. **更新权重**：将当前权重向量减去学习率乘以梯度，这是一个小步调整，学习率决定了每次迭代调整的大小。

5. **重复迭代**：不断重复上述过程，直到达到预设的迭代次数、梯度足够小或者损失函数变化不大为止。

import numpy as np

def gradient_descent(X, y, w_init, learning_rate, num_iterations):
    m = X.shape[0]  # 样本数
    w = w_init.copy()
    for _ in range(num_iterations):
        y_pred = np.dot(X, w)  # 预测值
        dw = (1/m) * np.dot(X.T, (y_pred - y))  # 梯度
        w -= learning_rate * dw  # 更新权重
    return w

# 示例用法
X = ...  # 特征矩阵
y = ...  # 目标变量
w_init = np.zeros(X.shape[1])  # 初始化权重
learning_rate = 0.01
num_iterations = 1000
optimal_w = gradient_descent(X, y, w_init, learning_rate, num_iterations)