用破圈法求一个带权连通图的最小生成树

破圈法，也称为Prim算法或Prim-Jarník算法，是一种用于计算带权无向图中最小生成树的贪心算法。最小生成树是一个图中的边集合，这些边连接了所有顶点，使得连接的权重之和最小，同时保持图的连通性。

以下是Prim算法的基本步骤：

1. 选择一个起始顶点（通常是任意一个顶点），并将其加入最小生成树中。
2. 初始化一个集合S，只包含起点，初始时S是空的。
3. 对于图中的每一个未被加入S的顶点v，计算从S中任一顶点u到v的边（u-v）的权重，并找到这条边中权重最小的那条。如果这条边的终点v还没有被加入S，则将v添加到S中，并更新这条边作为S到v的最短路径。
4. 重复步骤3，直到S包含了所有顶点。此时S就是最小生成树。

值得注意的是，Prim算法可以扩展到带权重的边，但假设每条边都是非负的，因为负权边可能会导致算法产生错误的结果。当图中存在负权环（即存在一个顶点可以经过一系列边回到起点，且总权重为负）时，算法无法保证正确性。

相关问题

用破圈法求一个带权连通图的最小生成树用c++实现

好的，我会回答你的问题。

破圈法是一种求带权连通图最小生成树的经典算法之一，它的基本思想是：从连通图中任选一条边作为生成树的第一条边，然后依次添加剩余的边，直到生成一棵最小生成树。

下面是用C++实现破圈法求解带权连通图的最小生成树的示例代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAXN = 1005; // 最大顶点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大

struct Edge {
    int u, v, w;
    Edge(int u_, int v_, int w_) : u(u_), v(v_), w(w_) {}
};

int n, m; // 顶点数、边数
int fa[MAXN]; // 并查集数组

int find(int x) { // 并查集查找父节点
    return (fa[x] == x) ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}

void merge(int x, int y) { // 并查集合并
    fa[find(x)] = find(y);
}

bool cmp(Edge a, Edge b) { // 边长从小到大排序
    return a.w < b.w;
}

int Kruskal(vector<Edge> &edges) { // 破圈法求最小生成树
    int ans = 0;
    sort(edges.begin(), edges.end(), cmp); // 边长从小到大排序
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i; // 初始化并查集
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        if (find(u) != find(v)) { // 判断是否在同一连通块
            merge(u, v); // 合并连通块
            ans += w; // 加上边长
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    vector<Edge> edges;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edges.push_back(Edge(u, v, w));
    }
    int ans = Kruskal(edges);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

上述代码中，首先定义了一个边的结构体Edge，其中包括边的起点、终点和边权重。然后，定义了并查集的find和merge操作及判断两个点是否在同一连通块的函数。接着，定义了一个比较函数cmp，用于将边按照权值从小到大排序。最后，实现了破圈法的Kruskal函数，其中对边进行排序，初始化并查集，依次添加边，并判断是否在同一连通块，最后返回最小生成树的边权和。在main函数中，读入顶点数、边数和边的信息，调用Kruskal函数求解最小生成树，并输出结果。

希望我的回答能够帮到你，如果你还有其他问题，可以继续问我哦。

用破圈法求一个带权连通图的最小生成树，用从c语言实现

好的，我来解答你的问题。

首先，我们需要了解破圈法求解最小生成树的过程。破圈法的基本思想是：通过找到环上的最大边，将环破开并将其变成树上的边，从而得到更小的生成树。破圈法的具体步骤如下：

1. 初始化。将所有边按照权值从小到大排序，并将所有点看作单独的连通块。

2. 扫描边。将排序后的边从小到大扫描一遍，遇到一条边连接的两个点属于不同的连通块，则将这两个连通块合并，并将这条边加入生成树中；如果这条边连接的两个点已经在同一个连通块中，则说明这条边会形成环，需要进行环的破解。

3. 破解环。在形成环的情况下，我们需要找到环上的最大边，并将其从环上删除，从而将环破开。这里需要用到并查集来判断环上的边是否在同一个连通块中，并找到环上的最大边。

4. 重复步骤 2 和 3，直到所有点都在同一个连通块中，此时生成的树即为最小生成树。

下面是一个用 C 语言实现破圈法求解最小生成树的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define MAXN 1000
#define INF 0x3f3f3f3f

typedef struct {
    int u, v, w;
} Edge;

int n, m;
int fa[MAXN];
Edge edges[MAXN];

int cmp(const void *a, const void *b) {
    return ((Edge*)a)->w - ((Edge*)b)->w;
}

int find(int x) {
    if (fa[x] == x) return x;
    else return fa[x] = find(fa[x]);
}

int merge(int x, int y) {
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx != fy) {
        fa[fx] = fy;
        return 1;
    }
    return 0;
}

void kruskal() {
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for (i = 0, j = 0; i < m && j < n - 1; i++) {
        if (merge(edges[i].u, edges[i].v)) {
            j++;
            printf("%d %d %d\n", edges[i].u, edges[i].v, edges[i].w);
        }
    }
}

void break_circle() {
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for (i = 0, j = 0; i < m && j < n - 1; i++) {
        if (merge(edges[i].u, edges[i].v)) {
            j++;
        } else {
            int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
            int fu = find(u), fv = find(v);
            int maxw = -INF, maxu, maxv;
            while (fu != fv) {
                if (fu == u) {
                    if (edges[fa[u]].w > maxw) {
                        maxw = edges[fa[u]].w;
                        maxu = u;
                        maxv = v;
                    }
                    u = fa[u];
                } else {
                    if (edges[fa[v]].w > maxw) {
                        maxw = edges[fa[v]].w;
                        maxu = u;
                        maxv = v;
                    }
                    v = fa[v];
                }
                fu = find(u);
                fv = find(v);
            }
            if (w < maxw) {
                printf("%d %d %d\n", u, v, w);
                edges[fa[maxu]].u = maxu;
                edges[fa[maxu]].v = maxv;
                edges[fa[maxu]].w = -1;
            }
        }
    }
}

int main() {
    int i;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
    }
    qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp);
    break_circle();
    return 0;
}

以上代码中，我们先通过 qsort 函数对所有边按照权值从小到大排序，然后对所有边进行扫描，如果扫描到一条边连接的两个点在不同的连通块中，则将这两个连通块合并，并将这条边加入生成树中；如果扫描到一条边连接的两个点在同一个连通块中，则说明这条边会形成环，需要进行环的破解。在破解环的过程中，我们需要用到并查集来判断环上的边是否在同一个连通块中，并找到环上的最大边。破解环的过程可以在扫描边的过程中进行，这样可以避免重复扫描边。最后，输出生成的最小生成树即可。

希望能够帮助到你！