设A=(110 101 011),求A的特征值和特征向量
时间: 2024-02-14 14:23:03 浏览: 35
对于矩阵A=(110 101 011),我们需要先求解其特征多项式:
| λ-1 -1 -1 |
| | = (λ-1) [ (λ-1)(λ-2) - (-1)(-1) ] + 1 [ (-1)(λ-2) - (-1) 101 ]
| -1 λ-2 -1 |
| -1 -1 λ-2 |
展开上式,得到:
λ^3 - 5λ^2 + 8λ - 4 = 0
通过求解上述特征多项式的根,我们可以得到A的特征值。不难发现,该特征多项式的根是 λ1 = 1, λ2 = 2 和 λ3 = 2。
接下来,我们需要求解A对应于 λ1, λ2 和 λ3 的特征向量。对于 λ1 = 1,我们有:
(A - λ1I) * x = 0
其中I是3x3的单位矩阵,x是待求解的特征向量。将A和λ1代入上式,得到:
| 0 -1 -1 | | x1 | | 0 |
| | * | | = | |
| -1 1 -1 | | x2 | | 0 |
| -1 -1 0 | | x3 | | 0 |
化简上面的方程组,得到:
x1 = x2 + x3
因此,A对应于 λ1 = 1 的特征向量为 (1, -1, 1)。
对于 λ2 = 2,我们有:
(A - λ2I) * x = 0
将A和λ2代入上式,得到:
| -1 -1 -1 | | x1 | | 0 |
| | * | | = | |
| -1 0 -1 | | x2 | | 0 |
| -1 -1 -1 | | x3 | | 0 |
化简上面的方程组,得到:
x1 = -x2 - x3
因此,A对应于 λ2 = 2 的特征向量为 (1, -1, 0) 和 (-1, 0, 1)。
对于 λ3 = 2,我们有:
(A - λ3I) * x = 0
将A和λ3代入上式,得到:
| -1 -1 -1 | | x1 | | 0 |
| | * | | = | |
| -1 -2 -1 | | x2 | | 0 |
| -1 -1 -2 | | x3 | | 0 |
化简上面的方程组,得到:
x1 = -x2 - x3
因此,A对应于 λ3 = 2 的特征向量为 (1, 1, -2)。
综上所述,矩阵A的特征值为 λ1 = 1, λ2 = 2 和 λ3 = 2,对应的特征向量分别为 (1, -1, 1), (1, -1, 0), (-1, 0, 1) 和 (1, 1, -2)。