通过时间序列特征方程的根判断平稳性的数学原理与推导是怎样的
时间: 2024-02-29 14:56:14 浏览: 40
时间序列平稳性的数学原理与推导如下:
对于一个时间序列模型,可以表示为:
yt = f(yt-1, yt-2, ..., yt-p, εt-1, εt-2, ..., εt-q)
其中,yt表示时间t的观测值,yt-1, yt-2, ..., yt-p表示t时刻的p个滞后值,εt-1, εt-2, ..., εt-q表示t时刻的q个随机误差项。如果一个时间序列是平稳的,那么其在任意时间t的统计特性(如均值、方差、自相关性等)都保持不变。
特征方程是表示时间序列的自回归方程(AR)或移动平均方程(MA)的特征根方程。以AR(p)模型为例,其特征方程为:
1 - φ1L - φ2L^2 - ... - φpL^p = 0
其中,L表示滞后算子,φ1,φ2,...,φp是AR(p)模型的系数。特征方程的解称为特征根,可以通过求解特征方程的根来判断时间序列的平稳性。
特征方程的解法如下:
将特征方程写成:
L^p - φ1L^(p-1) - φ2L^(p-2) - ... - φp = 0
令λ为特征方程的根,则有:
λ^p - φ1λ^(p-1) - φ2λ^(p-2) - ... - φp = 0
两边同乘λ^-p,得到:
1 - φ1λ^-1 - φ2λ^-2 - ... - φpλ^-p = 0
这是一个AR(p)模型的形式,可以表示为:
yt = φ1yt-1 + φ2yt-2 + ... + φpyt-p + εt
其中,εt为随机误差项。因此,如果特征方程的所有根的模都小于1,那么AR(p)模型是平稳的。类似地,对于MA(q)模型,如果特征方程的所有根的模都小于1,那么MA(q)模型是平稳的。
总之,通过求解时间序列模型的特征方程的根,可以判断该时间序列模型的平稳性。