求4点的高斯-勒让德积分的坐标和权重系数: ∫(-1,1)f(x)dx=w1f(x1)+w2f(x2)+w3f(x3)+w4f(x4) 并证明该积分公式的最高代数精度,需要有详细的推导和求解过程
时间: 2023-02-24 12:12:52 浏览: 134
高斯-勒让德(Gauss-Legendre)积分公式是一种数值积分的常用方法,是基于多项式插值的思想而得到的。其主要思路是将区间[-1, 1]上的定积分近似地逼近为点值的线性组合。
对于4点高斯-勒让德积分公式,可以得到以下四个点和对应的权重系数:
x1 = -0.8611363116, x2 = -0.3399810436, x3 = 0.3399810436, x4 = 0.8611363116
w1 = 0.3478548451, w2 = 0.6521451549, w3 = 0.6521451549, w4 = 0.3478548451
该积分公式的最高代数精度为2,也就是说,它可以精确计算二次多项式的定积分。
推导过程如下:
1. 定义多项式Pn(x):
Pn(x) = (x-x1) * (x-x2) * ... * (x-xn)
2. 求解Pn(x)的n个根:
Pn(x)的n个根为x1, x2, ..., xn
3. 构造插值多项式:
根据Lagrange插值法,构造插值多项式
f(x) ≈ Ln(x) = f(x1) * l1(x) + f(x2) * l2(x) + ... + f(xn) * ln(x)
4. 求解插值多项式的积分:
Ln(x)的积分为F(x) = ∫Ln(x)dx
F(x) = f(x1) * ∫l1(x)dx + f(x2) * ∫l2(x)dx + ... + f(xn) * ∫ln(x)dx
5. 用F(x)的点值代替原积分的点值:
相关问题
matlab寻找高斯-勒让德积分的坐标和权重系数
在MATLAB中,我们可以使用特殊函数库来寻找高斯-勒让德积分的坐标和权重系数。这个特殊函数库称为"Gauss-Legendre Quadrature"。
使用MATLAB进行高斯-勒让德积分,我们需要使用"gausslegendre"函数。该函数有两个参数:积分点的数量和积分区间的上下限。
首先,我们需要以这样的方式调用该函数:
[x, w] = gausslegendre(n, a, b);
其中,n是积分点的数量,a和b是积分区间的上下限。该函数返回两个向量:x包含积分点的坐标,w包含积分点的权重系数。
例如,如果我们想要使用5个积分点在区间[-1, 1]上进行高斯-勒让德积分,我们可以这样调用该函数:
[x, w] = gausslegendre(5, -1, 1);
运行后,x将包含积分点的坐标,w将包含积分点的权重系数。
然后,我们可以使用这些坐标和权重系数进行数值积分计算。假设我们要计算函数f(x)在[-1, 1]上的积分,我们可以如下运用高斯-勒让德积分公式:
integral = sum(w .* f(x));
这样,integral将包含函数f(x)在[-1, 1]上的数值积分结果。
总之,MATLAB中的特殊函数库"Gauss-Legendre Quadrature"提供了寻找高斯-勒让德积分的坐标和权重系数的功能。我们可以利用这些坐标和权重系数进行数值积分计算,以获得函数在给定区间上的积分结果。
高斯-勒让德积分公式 求4点的高斯-勒让德积分的坐标和权重系数并证明该积分公式的最高代数精度。
答:高斯-勒让德积分公式可以用以下4点坐标和权重系数来表示:(-1,1/6),(0,2/3),(1,1/6),(1/2,1/3),权重系数分别为:1/6,2/3,1/6,1/3。该积分公式的最高代数精度为2,可以用以下方式来证明:对于任意n次多项式f(x),将其分解为n+1阶多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn,则f(x)在[-1,1]上的定积分为:I=a0/2+a1/3+a2/4+...+an/(n+1),由此可以看出,I的最高代数精度为2。
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