householder变换性质
时间: 2023-11-13 17:49:28 浏览: 29
Householder变换是一种线性变换,通常用于矩阵的相似变换和QR分解。它的性质如下:
1. Householder变换是一个对称矩阵。
2. Householder变换是幂等的,即对同一向量做两次Householder变换,其结果不变。
3. Householder变换是正交的,即保持向量的长度和夹角不变。
4. Householder变换可以将向量投影到一个坐标轴上。
5. Householder变换可以将任意向量变换为一个倍数为其长度的单位向量。
6. Householder变换可以将一个向量变换为一个与另一个向量垂直的向量。
7. Householder变换可以将一个向量变换为另一个向量的线性组合。
这些性质使得Householder变换在数值线性代数中具有广泛的应用。
相关问题
householder变换
Householder变换是一种线性代数中的变换,用于将一个向量转换为其它向量。它是一种对称反射变换,通过将一个向量沿着一个超平面反射,将其映射到另一个向量上。这个超平面垂直于一个特定的向量,这个向量被称为Householder向量或Householder镜面。
在数值计算中,Householder变换通常用于矩阵的QR分解中,以减少计算复杂度,从而提高计算效率。在QR分解中,Householder变换用于将矩阵的列向量转换为正交向量组,从而实现矩阵的QR分解。
Householder变换的数学表示为:H = I - 2vvT / ||v||^2,其中v为Householder向量,I为单位矩阵,T表示转置运算,||v||表示v的模长。根据上述公式,将一个向量x进行Householder变换可以得到y=Hx,其中y是x沿着超平面反射之后得到的向量。
householder变换matlab代码
以下是一个简单的 Householder 变换的 MATLAB 代码实现:
```matlab
function [H, v] = householder(x)
% Householder 变换
% 输入参数:向量 x
% 输出参数:矩阵 H 和向量 v,满足 H = I - 2*v*v',其中 v 是单位向量
% 使得 H*x = [norm(x);0;0;...;0]
n = length(x);
v = x;
v(1) = v(1) + sign(x(1))*norm(x);
v = v / norm(v);
H = eye(n) - 2*v*v';
end
```
此代码实现了将一个向量通过 Householder 变换变成 $[||x||, 0, 0, ..., 0]$ 的过程。其中,输入参数 x 是一个向量,输出参数 H 是一个 Householder 矩阵,v 是一个单位向量。
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