mathematica中用傅里叶变换求下列偏微分方程（运算过程中涉及到的边界初始条件问题自行设定）D[u[x, t], t] - 4*D[u[x, t], {x, 2}] == 0

可以使用Mathematica中的DSolve函数来求解这个偏微分方程。首先，我们需要设定边界条件和初始条件，这里假设边界条件为u[0,t]=0，u[1,t]=0，初始条件为u[x,0]=Sin[Pi*x]。代码如下：

eqn = D[u[x, t], t] - 4*D[u[x, t], {x, 2}] == 0;
bc = {u[0, t] == 0, u[1, t] == 0};
ic = u[x, 0] == Sin[Pi*x];
sol = DSolve[{eqn, bc, ic}, u[x, t], {x, t}]

运行这段代码后，Mathematica会输出一个包含常数的解析解。为了得到具体的解，我们需要指定常数的值。这里假设常数为C1和C2，代码如下：

sol = u[x, t] /. sol[[1]] /. {C[1] -> C1, C[2] -> C2}

现在我们得到了一个包含常数C1和C2的解析解。为了确定这两个常数的值，我们需要利用初始条件。将初始条件代入解析解中，我们得到：

sol = sol /. {C1 -> FourierSinCoefficient[Sin[Pi*x], x, 1], 
              C2 -> 4/Pi^2*FourierSinCoefficient[D[Sin[Pi*x], x], x, 1]}

这里使用了Mathematica中的FourierSinCoefficient函数来计算正弦傅里叶系数。现在我们得到了一个具体的解析解，可以用Plot3D函数来绘制这个解的图像。代码如下：

Plot3D[Evaluate[sol], {x, 0, 1}, {t, 0, 1}]

运行这段代码后，Mathematica会输出一个图像，表示偏微分方程在定义域内的解。