用MATLAB求f(t)=e^(-2t)sin(t)ε(t)的拉氏变换
时间: 2023-08-09 12:09:21 浏览: 54
根据拉普拉斯变换的定义,f(t)的拉氏变换F(s)为:
F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt
其中,ε(t)是单位阶跃函数,其定义为:
ε(t) = {1, t≥0; 0, t<0}
因此,f(t)在t≥0时等于e^(-2t)sin(t),在t<0时等于0,因此可以将f(t)表示为:
f(t) = e^(-2t)sin(t) [1 - ε(-t)]
将其代入拉普拉斯变换的定义式中,得到:
F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) e^(-2t) sin(t) dt
使用乘法定理将e^(-st)和sin(t)拆开,得到:
F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) e^(-2t) sin(t) dt
= ∫[0,∞) e^(-st) e^(-2t) (1/2i) [e^(it) - e^(-it)] dt
= (1/2i) ∫[0,∞) [e^(-(s+2)t + it) - e^(-(s+2)t - it)] dt
对于第一项,使用换元法令u = (s+2)t - it,得到du = (s+2 - i)dt,代入得:
∫[0,∞) e^(-(s+2)t + it) dt = ∫[0,∞) e^u / (s+2-i) du = 1 / (s+2-i)
对于第二项,使用换元法令v = (s+2)t + it,得到dv = (s+2 + i)dt,代入得:
∫[0,∞) e^(-(s+2)t - it) dt = ∫[0,∞) e^v / (s+2+i) dv = 1 / (s+2+i)
将两项相减,得到:
F(s) = (1/2i) [1 / (s+2-i) - 1 / (s+2+i)]
= (1/2i) [(s+2+i) / [(s+2)^2 + 1] - (s+2-i) / [(s+2)^2 + 1]]
= (s+2) / [(s+2)^2 + 1]
因此,f(t)=e^(-2t)sin(t)ε(t)的拉氏变换为F(s) = (s+2) / [(s+2)^2 + 1]。