24x≡42mod30

首先，我们可以将等式化简为 8x ≡ 14 (mod 10)，然后再进一步化简为 4x ≡ 7 (mod 5)。

现在，我们需要找到一个数 y，使得 4y ≡ 1 (mod 5)，因为这样我们就可以将等式两边同时乘以 y，得到 x ≡ 7y (mod 5)。

我们可以试着枚举 y 的取值，发现当 y = 4 时，4y ≡ 1 (mod 5)。因此，我们可以将等式两边同时乘以 4，得到 x ≡ 28 ≡ 3 (mod 5)。

综上所述，原方程的解为 x ≡ 3 (mod 5)。

相关问题

17x≡14mod(21)

首先，我们需要确定x的值。为此，我们可以使用扩展欧几里得算法来求解17和21的最大公因数以及它们的贝祖等式的系数：

21 = 17 × 1 + 4
17 = 4 × 4 + 1
4 = 1 × 4 + 0

由此可知，17和21的最大公因数为1。接下来，我们可以使用逆元的概念，即求出一个整数y，使得17y ≡ 1 mod(21)。为此，我们需要使用贝祖等式的系数来进行逆元的求解：

1 = 17 - 4 × 4
  = 17 - 4 × (21 - 17 × 1)
  = 17 × 5 - 4 × 21

因此，我们发现17 × 5 ≡ 1 mod(21)。现在，我们可以将x的值求出来：

17x ≡ 14 mod(21)
5 × 17x ≡ 5 × 14 mod(21)
85x ≡ 70 mod(21)
16x ≡ 7 mod(21)

现在，我们需要找到一个整数z，使得16z ≡ 1 mod(21)。通过使用扩展欧几里得算法，我们可以求出：

21 = 16 × 1 + 5
16 = 5 × 3 + 1
5 = 1 × 5 + 0

因此，16和21的最大公因数为1，且：

1 = 16 - 5 × 3
  = 16 - (21 - 16 × 1) × 3
  = 16 × 4 - 21 × 3

因此，我们发现16 × 4 ≡ 1 mod(21)。现在，我们可以将x的值求出来：

16x ≡ 7 mod(21)
4 × 16x ≡ 4 × 7 mod(21)
64x ≡ 28 mod(21)
x ≡ 7 mod(21)

因此，方程的解为x ≡ 7 mod(21)。

206x≡114(mod 422)

根据同余方程的性质，方程两边同时乘以某个数，余数仍然相等，因此可以将方程两边同时乘以关于x的某个数，使得系数可以被化简。首先，可以将206和422分别表示为它们的质因数乘积的形式：

206 = 2 × 103
422 = 2 × 211

因此，方程可以写成：

2 × 103x ≡ 114 (mod 2 × 211)

化简系数2，得到：

103x ≡ 57 (mod 211)

下一步，可以使用扩展欧几里得算法来求解这个同余方程。扩展欧几里得算法可以求出两个整数a和b的最大公约数gcd(a,b)，并且在求解过程中可以得到一组整数s和t，使得gcd(a,b) = sa + tb。

将103和211代入扩展欧几里得算法中，得到：

gcd(103, 211) = 1
1 = 2 × 103 - 1 × 211

因此，可以将1表示为103和211的线性组合，即：

1 ≡ 2 × 103 - 1 × 211 (mod 211)

将上式两边同时乘以57，得到：

57 ≡ 114 × 103 - 57 × 211 (mod 211)

因为103x ≡ 57 (mod 211)，所以可以取x = 114 × 103 - 57 × 211。因此，方程的解为：

x ≡ 114 × 103 - 57 × 211 (mod 422)