求B=[1 0 1, 0 1 -1]的奇异值分解
时间: 2024-05-28 21:12:22 浏览: 12
首先,计算B的转置矩阵B^T:
B^T = [1 0, 0 1, 1 -1]
然后,计算B*B^T的特征值和特征向量:
B*B^T = [2 -1, -1 2]
特征值为λ1=3,λ2=1,对应的特征向量为:
v1 = [1, 1]/sqrt(2),v2 = [-1, 1]/sqrt(2)
接下来,计算B^T*B的特征值和特征向量:
B^T*B = [2 0 0, 0 2 0, 0 0 2]
特征值均为2,对应的特征向量为:
u1 = [1, 0, 1]/sqrt(2),u2 = [0, 1, -1]/sqrt(2),u3 = [1, -1, 0]/sqrt(2)
最后,根据奇异值分解的公式,可以得到B的奇异值分解:
B = U*S*V^T
其中,U和V分别为B*B^T和B^T*B的特征向量矩阵,S为奇异值矩阵,其对角线元素为B*B^T特征值的平方根,即:
S = [sqrt(3) 0, 0 1]
将特征向量代入可得:
U = [1/sqrt(2) -1/sqrt(2) 0, 1/sqrt(2) 1/sqrt(2) 0, 1/sqrt(2) 0 1/sqrt(2)]
V^T = [1/sqrt(2) 1/sqrt(2), 0 1, 1/sqrt(2) -1/sqrt(2)]
因此,B的奇异值分解为:
B = [1/sqrt(2) -1/sqrt(2) 0, 1/sqrt(2) 1/sqrt(2) 0, 1/sqrt(2) 0 1/sqrt(2)] * [sqrt(3) 0, 0 1] * [1/sqrt(2) 1/sqrt(2), 0 1, 1/sqrt(2) -1/sqrt(2)]^T