用乘子罚函数法解决最优化问题的案例及python的代码实现
时间: 2024-01-05 14:02:10 浏览: 61
一个经典的用乘子罚函数法解决的最优化问题是无约束优化问题,即最小化目标函数$f(x)$。乘子罚函数法的思路是将约束条件转化为目标函数中的惩罚项,从而将有约束优化问题转化为无约束优化问题。具体地,将原问题转化为以下形式:
$$
\min_x \ f(x) + \frac{\mu}{2}\sum_{i=1}^{m}h_i^2(x)
$$
其中,$h_i(x)$为第$i$个约束条件,$\mu$为惩罚参数。
下面是用乘子罚函数法解决无约束优化问题的Python代码实现:
```python
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def objective(x):
return x[0]**2 + x[1]**2
def constraint(x):
return x[0] + x[1] - 1
def penalty(x, mu):
return objective(x) + mu/2 * constraint(x)**2
bnds = ((None, None), (None, None))
x0 = np.array([0.5, 0.5])
mu = 1
for i in range(10):
res = minimize(lambda x: penalty(x, mu), x0, bounds=bnds) # 用minimize函数求解
x0 = res.x
mu *= 10
print(res)
```
在这个例子中,我们的目标函数是$f(x)=x_1^2+x_2^2$。我们要求最小化这个函数,但是有一个约束条件$x_1+x_2-1=0$。我们将约束条件转化为惩罚项,得到乘子罚函数:
$$
f(x) + \frac{\mu}{2}(x_1+x_2-1)^2
$$
其中,$\mu$为惩罚参数。我们用scipy库的minimize函数来求解这个无约束优化问题。在这个例子中,我们通过迭代增加$\mu$的值来逼近最优解。