用乘子罚函数法解决最优化问题的案例及python的代码实现，务必准确无误

一个典型的用乘子罚函数法解决最优化问题的案例是：

求解以下非线性最小二乘问题：

$$
\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m (y_i - \phi(x_i))^2
$$

其中 $y_i$ 是给定的常数，$x_i \in \mathbb{R}^n$ 是自变量，$\phi(x_i)$ 是已知的函数。我们的目标是找到最小化 $f(x)$ 的 $x$。

我们可以将问题转化为以下形式：

$$
\min_{x \in \mathbb{R}^n} F(x) = f(x) + \frac{\rho}{2} \sum_{i=1}^m g_i(x)^2
$$

其中 $\rho > 0$ 是惩罚参数，$g_i(x) = y_i - \phi(x_i)$。

用乘子罚函数法求解以上问题的步骤如下：

1. 初始化 $x^{(0)}$ 和 $\lambda^{(0)}$。

2. 对于 $k = 0, 1, 2, \dots$，重复以下步骤：

a. 固定 $\lambda^{(k)}$，求解以下无约束问题：

$$
\min_{x \in \mathbb{R}^n} F(x) + \frac{\rho}{2} \sum_{i=1}^m (\lambda_i^{(k)})^2 g_i(x)^2
$$

b. 固定 $x^{(k+1)}$，更新 $\lambda_i^{(k+1)}$：

$$
\lambda_i^{(k+1)} = \lambda_i^{(k)} + \rho g_i(x^{(k+1)})
$$

c. 如果满足停止准则，即 $\|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon$，则停止迭代，否则将 $k$ 替换为 $k+1$，回到步骤 2.a。

以下是 Python 代码实现：

import numpy as np

def f(x, y, phi):
    return 0.5 * np.sum((y - phi(x))**2)

def g(x, y, phi):
    return y - phi(x)

def F(x, y, phi, lamb, rho):
    return f(x, y, phi) + 0.5 * rho * np.sum(g(x, y, phi)**2) + \
        0.5 * np.sum(lamb**2 * g(x, y, phi)**2)

def grad(x, y, phi, lamb, rho):
    return -phi(x).T @ (y - phi(x)) + rho * phi(x).T @ np.diag(lamb) @ g(x, y, phi)

def hess(x, y, phi, lamb, rho):
    return phi(x).T @ phi(x) + \
        rho * np.sum(np.diag(lamb) * phi(x).T @ phi(x), axis=0) + \
        rho * phi(x).T @ np.diag(g(x, y, phi)**2) @ phi(x)

def penalty_method(x0, y, phi, lamb0, rho, epsilon=1e-6, max_iter=100):
    x = x0.copy()
    lamb = lamb0.copy()
    for i in range(max_iter):
        # minimize F(x) with fixed lambda
        x = np.linalg.solve(hess(x, y, phi, lamb, rho), grad(x, y, phi, lamb, rho))
        # update lambda
        lamb += rho * g(x, y, phi)
        # check stopping criterion
        if np.linalg.norm(x - x0) < epsilon:
            break
        x0 = x.copy()
    return x

其中，`x` 是自变量，`y` 是常数，`phi` 是函数，`lamb` 是 Lagrange 乘子，`rho` 是惩罚参数。`grad` 函数计算梯度，`hess` 函数计算 Hessian 矩阵。`penalty_method` 函数实现了上述算法。