matlab 已知正交legendre多项式函数 编制m函数 [lp

下面是一个简单的 Matlab m 文件，用于计算正交的 Legendre 多项式函数：

function [ lp ] = legendre_poly( n )

% 计算正交的 Legendre 多项式函数的值

% 输入：
%   n: 多项式的次数

% 输出：
%   lp: 长度为 n+1 的向量，包含从 0 到 n 阶多项式的值

lp = zeros(1, n+1);
lp(1) = 1;

if n > 0
    lp(2) = x;
    for k = 2:n
        lp(k+1) = ((2*k-1)*x*lp(k)-(k-1)*lp(k-1))/k;
    end
end

end

在这个 m 文件中，我们使用了递推公式来计算每个阶数的 Legendre 多项式函数。我们首先初始化 $P_0(x) = 1$，然后计算 $P_1(x) = x$。接下来，我们使用递推公式 $P_{k+1}(x) = \frac{(2k+1)xP_k(x) - kP_{k-1}(x)}{k+1}$ 来计算更高阶的多项式函数。

你可以通过调用 `legendre_poly(n)` 函数来计算从 $0$ 到 $n$ 阶的 Legendre 多项式函数。

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matlab 己知正交 Legendre 多项式函数有如下的递推关系p1（x）=1 p2（x）=x；（n+1）pn+1（x）=（2n+1）xpn（x）-npn-1（x） 编制m函数 [Ip, Gram]=fun_ legendre_32(n).m 输入一个参数n，没有输入参数时报错。

您好！根据您的要求，我已经编写了一个 MATLAB 函数 `fun_legendre_32`，实现正交 Legendre 多项式函数的递推关系，并返回第 n 阶 Legendre 多项式函数及其 Gram 矩阵。函数代码如下：

function [Ip, Gram] = fun_legendre_32(n)
% FUN_LEGENDRE_32: Compute the n-th order Legendre polynomial function and its Gram matrix
% Syntax: [Ip, Gram] = fun_legendre_32(n)
% Inputs:
%   - n: The order of Legendre polynomial function
% Outputs:
%   - Ip: A function handle of the n-th order Legendre polynomial function
%   - Gram: The Gram matrix of the first n+1 Legendre polynomial functions

if nargin < 1
    error('Please input the order n of Legendre polynomial function!');
end

% Initialize the first two Legendre polynomial functions
p0 = @(x) 1;
p1 = @(x) x;

% Initialize the Gram matrix
Gram = zeros(n+1);

% Compute the first n+1 Legendre polynomial functions and their Gram matrix
Gram(1,1) = integral(@(x) p0(x).^2, -1, 1);
Gram(2,1) = integral(@(x) p0(x).*p1(x), -1, 1);
Gram(1,2) = Gram(2,1);
Gram(2,2) = integral(@(x) p1(x).^2, -1, 1);

for k = 2:n
    pk = @(x) ((2*k-1)*x.*p1(x)-(k-1)*p0(x))/k;
    Gram(k+1,1) = integral(@(x) p0(x).*pk(x), -1, 1);
    Gram(1,k+1) = Gram(k+1,1);
    for j = 2:k
        pj = @(x) ((2*j-1)*x.*p1(x)-(j-1)*p0(x))/j;
        Gram(k+1,j) = integral(@(x) pj(x).*pk(x), -1, 1);
        Gram(j,k+1) = Gram(k+1,j);
    end
    Gram(k+1,k+1) = integral(@(x) pk(x).^2, -1, 1);
    p0 = p1;
    p1 = pk;
end

% Return the function handle of the n-th order Legendre polynomial function
Ip = p1;

end

该函数会检查输入参数是否存在，如果没有输入参数则会报错。函数通过递推公式计算前 n+1 阶 Legendre 多项式函数及其 Gram 矩阵，并返回第 n 阶 Legendre 多项式函数的函数句柄 `Ip` 和 Gram 矩阵 `Gram`。您可以直接调用该函数，并传入所需的阶数 n，即可得到对应的正交 Legendre 多项式函数。

己知正交 Legendre 多项式函数有如下的递推关系p1（x）=1 p2（x）=x；（n+1）p（n+1）（x）=（2n+1）xp（n）（x）-np（n-1）（x） 编制m函数 [Ip, Gram]=fun_ legendre_32(n).m 输入一个参数n，没有输入参数时报错。

您好！根据您的要求，我已经编写了一个 MATLAB 函数 `fun_legendre_32`，实现正交 Legendre 多项式函数的递推关系，并返回第 n 阶 Legendre 多项式函数及其 Gram 矩阵。函数代码如下：

function [Ip, Gram] = fun_legendre_32(n)
% FUN_LEGENDRE_32: Compute the n-th order Legendre polynomial function and its Gram matrix
% Syntax: [Ip, Gram] = fun_legendre_32(n)
% Inputs:
%   - n: The order of Legendre polynomial function
% Outputs:
%   - Ip: A function handle of the n-th order Legendre polynomial function
%   - Gram: The Gram matrix of the first n+1 Legendre polynomial functions

if nargin < 1
    error('Please input the order n of Legendre polynomial function!');
end

% Initialize the first two Legendre polynomial functions
p0 = @(x) 1;
p1 = @(x) x;

% Initialize the Gram matrix
Gram = zeros(n+1);

% Compute the first n+1 Legendre polynomial functions and their Gram matrix
Gram(1,1) = integral(@(x) p0(x).^2, -1, 1);
Gram(2,1) = integral(@(x) p0(x).*p1(x), -1, 1);
Gram(1,2) = Gram(2,1);
Gram(2,2) = integral(@(x) p1(x).^2, -1, 1);

for k = 2:n
    pk = @(x) ((2*k-1)*x.*p1(x)-(k-1)*p0(x))/k;
    Gram(k+1,1) = integral(@(x) p0(x).*pk(x), -1, 1);
    Gram(1,k+1) = Gram(k+1,1);
    for j = 2:k
        pj = @(x) ((2*j-1)*x.*p1(x)-(j-1)*p0(x))/j;
        Gram(k+1,j) = integral(@(x) pj(x).*pk(x), -1, 1);
        Gram(j,k+1) = Gram(k+1,j);
    end
    Gram(k+1,k+1) = integral(@(x) pk(x).^2, -1, 1);
    p0 = p1;
    p1 = pk;
end

% Return the function handle of the n-th order Legendre polynomial function
Ip = p1;

end

该函数会检查输入参数是否存在，如果没有输入参数则会报错。函数通过递推公式计算前 n+1 阶 Legendre 多项式函数及其 Gram 矩阵，并返回第 n 阶 Legendre 多项式函数的函数句柄 `Ip` 和 Gram 矩阵 `Gram`。您可以直接调用该函数，并传入所需的阶数 n，即可得到对应的正交 Legendre 多项式函数。