【算法设计题】试设计一个算法Mark标记一个无向图G的各个连通分量,即第i个连通分量标记为i。 (1)用自然语言描述算法思想; (2)用类C或C++语言描述算法的实现; (3)分析算法的时间复杂度

答案：

(1) 算法思想：采用深度优先搜索的方法，对于每个连通分量中的任意一个节点进行深度优先搜索，将搜索到的所有节点都标记为该连通分量的编号。然后，找到尚未被标记过的节点，重复上述操作直到所有节点都被标记。

(2) 算法实现：

void dfs(int u, int tag)
{
vis[u] = true; // 标记节点已经被访问过
mark[u] = tag; // 标记节点属于哪个连通分量
for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) // 对于节点u连接的所有节点
{
int v = e[i].v;
if(!vis[v]) // 如果节点v尚未被标记
{
dfs(v, tag); // 递归地标记节点v为同一连通分量
}
}
}

void mark_components()
{
int tag = 0; // 连通分量编号
memset(vis, false, sizeof(vis)); // 所有节点初始化为未访问状态
memset(mark, -1, sizeof(mark)); // 所有节点初始化为未标记状态
for(int i = 0; i < n; i++) // 对于每个节点i，如果它未被标记，则尝试标记以它为起点的连通分量
{
if(!vis[i])
{
tag++; // 新建一个连通分量
dfs(i, tag); // 对以i为起点的连通分量进行标记
}
}
}

(3) 时间复杂度：该算法的时间复杂度取决于遍历整个图所需的时间复杂度，即 O(|V|+|E|)，其中|V|为节点数，|E|为边数。因此，算法的时间复杂度为 O(n+m)，其中n为节点数，m为边数。