解释:$\frac{a_{n+1}}{S_n^2}\leq k$中frac的含义
时间: 2023-11-01 12:34:17 浏览: 66
在数学中,$\frac{a_{n1}}{S_n^2}$表示数列的第$n$项$a_{n1}$除以前$n$项的和$S_n$的平方。$\frac{a_{n1}}{S_n^2}$通常被用来衡量数列的收敛性质,当$\frac{a_{n1}}{S_n^2}$的值趋近于0时,数列通常被认为是收敛的。在不等式$\frac{a_{n 1}}{S_n^2}\leq k$中,$\frac{a_{n 1}}{S_n^2}$位于分数线的上部,表示其值小于或等于$k$。
相关问题
$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$ s.t. $$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$ $$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$
这是一个线性规划问题。其中,$x_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列是否选中,$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$ 表示选中的格子数。我们需要最大化选中的格子数,同时满足一些限制条件。
限制条件如下:
1. $\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$:对于每个 $10\times 10$ 的方格中,最多只能选中一个格子。
2. $\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$:对于每个半径为 $h$ 的正方形中,最多只能选中 $(2h+1)^2$ 个格子。
3. $\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$:对于每个半径为 $2.5$ 的圆中,最多只能选中 $\pi(2.5)^2$ 个格子。
4. $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$:选中的格子的高度的方差不能超过 $\sigma^2$。
5. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$:选中的格子的高度与平均高度的差的平方和不能超过 $\delta$。
6. $\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$:选中的格子的高度之和不能超过 $B$。
我们可以将这个问题表示为如下的线性规划模型:
$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$
s.t.
$$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$
$$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$
$$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$
$$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$
$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$
$$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$
$$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$
其中,$N$ 表示选中的格子数,$\bar{h}$ 表示选中的格子的平均高度。
如何将$\frac{x^2}{n^4+x^4}\leq \frac{1}{n^2}$显示出来
首先,将不等式两边同乘$n^4+x^4$得到$x^2\leq n^2(n^4+x^4)$。然后,可以继续化简不等式:
$x^2\leq n^2(n^4+x^4) \Rightarrow x^2\leq n^6+n^2x^4 \Rightarrow n^6\geq x^2(n^2-x^2)$
因为$x$和$n$都是正实数,所以可以继续化简不等式:
$n^6\geq x^2(n^2-x^2) \Rightarrow \frac{x^2}{n^2}\leq \frac{n^4}{n^2+x^2}$
然后,将$n^2+x^2$的分母上界估计为$n^2$,即$n^2+x^2\leq 2n^2$,得到:
$\frac{x^2}{n^2}\leq \frac{n^4}{n^2+x^2}\leq \frac{n^4}{2n^2}=\frac{1}{2}n^2$
最后,因为$n$是正实数,所以可以将$\frac{1}{2}n^2$替换为$n^2$,得到:
$\frac{x^2}{n^4+x^4}\leq \frac{1}{n^2}$