如何将$\frac{x^2}{n^4+x^4}\leq \frac{1}{n^2}$显示出来

首先，将不等式两边同乘$n^4+x^4$得到$x^2\leq n^2(n^4+x^4)$。然后，可以继续化简不等式：

$x^2\leq n^2(n^4+x^4) \Rightarrow x^2\leq n^6+n^2x^4 \Rightarrow n^6\geq x^2(n^2-x^2)$

因为$x$和$n$都是正实数，所以可以继续化简不等式：

$n^6\geq x^2(n^2-x^2) \Rightarrow \frac{x^2}{n^2}\leq \frac{n^4}{n^2+x^2}$

然后，将$n^2+x^2$的分母上界估计为$n^2$，即$n^2+x^2\leq 2n^2$，得到：

$\frac{x^2}{n^2}\leq \frac{n^4}{n^2+x^2}\leq \frac{n^4}{2n^2}=\frac{1}{2}n^2$

最后，因为$n$是正实数，所以可以将$\frac{1}{2}n^2$替换为$n^2$，得到：

$\frac{x^2}{n^4+x^4}\leq \frac{1}{n^2}$

相关问题

将第一部分 选择题 1. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. $y=x^2+3$ B. $y=""sin(x)$ C. $y=2x$ D. $y=e^x$ 2. 函数 $f(x)=""begin{cases} x+1, & x""leq -1 """" x^2, & x>-1 ""end{cases}$ 在 $x=-1$ 处（ ） A. 连续但不可导 B. 不连续且不可导 C. 连续且可导 D. 不连续但可导 3. 数列 $""{a_n""}$ 满足 $a_n=(-1)^n""frac{n}{n+1}$，则 $""{a_n""}$ 的极限是（ ） A. $-""frac{1}{2}$ B. $""frac{1}{2}$ C. $1$ D. 不存在 4. 函数 $f(x)=""cos(x^2)$ 的导数是（ ） A. $-""sin(x^2)$ B. $-2x""sin(x^2)$ C. $2x""sin(x^2)$ D. $""sin(x^2)$ 5. 若 $""int_1^2 f(x)dx=3$，$""int_2^3 f(x)dx=-2$，则 $""int_1^3 f(x)dx$ 等于（ ） A. $-5$ B. $5$ C. $-1$ D. $1$ ## 第二部分 简答题 1. 说明函数的单调性判别法。 2. 怎样求函数的极值和最值？ 3. 推导积分上限的函数的导数公式。 4. 如何利用定积分计算平面图形的面积？ ## 第三部分 计算题 1. 求函数 $y=""sqrt{x^2+1}$ 的导数。 2. 计算 $""lim_{x""to 0}""frac{""sin(2x)}{""sqrt{1+x}-1}$。 3. 求 $""int x""ln x dx$。 4. 计算曲线 $y=x^2$ 在 $x""in[0,1]$ 上围成的图形的面积。 ## 参考答案 ### 选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. A ### 简答题 1. 单调上升的充分必要条件是 $f'(x)>0$，单调下降的充分必要条件是 $f'(x)<0$。 2. 求极值的步骤： 1. 求出导数 $f'(x)$。 2. 解方程 $f'(x)=0$，得到可能的极值点。 3. 利用二阶导数 $f''(x)$ 判断每个可能的极值点是极大值、极小值还是不是极值。 4. 比较所有可能的极值点得到最大值和最小值。 3. 设 $F(x)=""int_a^x f(t)dt$，则 $F'(x)=f(x)$。 4. 曲线 $y=x^2$ 在 $x""in[0,1]$ 上围成的图形的面积为 $""int_0^1 x^2 dx=""frac{1}{3}$。 ### 计算题 1. $y'=""frac{x}{""sqrt{x^2+1}}$ 2. $2$ 3. $""frac{1}{2}x^2(""ln x-""frac{1}{2})+C$ 4. $""frac{1}{3}$翻译成Markdown

1. 选B。因为奇函数的定义是$f(-x)=-f(x)$，而只有正弦函数满足这个条件。
2. 选D。因为当$x\leq1$时，$f(x)=x^2$，当$x>1$时，$f(x)=2x-1$，而$e^x$是一个连续函数，可以表示这个分段函数。

用matlab 解决$max\;n$ $\pi r^2 + 10 \leq 500^2/n$ $\pi r^2 + 2rh + 10 \leq (500-r)^2$ $2r + 5 \leq (500-2r-5)/(n-1)$ $|h_i-h_j| \leq 1\;(i,j=1,2,...,n)$ $C = 10h+10$

这是一个求解最优化问题的问题，可以使用MATLAB中的优化工具箱来解决。具体来说，可以使用fmincon函数，该函数可以用来求解非线性约束的最小值问题。

首先，将问题转化为目标函数的形式。将第一个约束条件改写为：

$$\pi r^2 + 10 -\frac{500^2}{n} \leq 0$$

将第二个约束条件改写为：

$$\pi r^2 + 2rh + 10 - (500-r)^2 \leq 0$$

将第三个约束条件改写为：

$$2r + 5 - \frac{500-2r-5}{n-1} \leq 0$$

将第四个约束条件改写为：

$$|h_i-h_j| -1 \leq 0\;(i,j=1,2,...,n)$$

将目标函数改写为：

$$f = 10h+10$$

然后，定义目标函数和约束条件。如下所示：

function [fval] = myfun(x)

r = x(1);
h = x(2:end-1);
n = x(end);

fval = 10*sum(h) + 10;

c1 = pi*r^2 + 10 - 500^2/n;
c2 = pi*r^2 + 2*r*h + 10 - (500-r)^2;
c3 = 2*r + 5 - (500-2*r-5)/(n-1);

c4 = zeros(n*(n-1)/2,1);
k = 0;
for i = 1:n-1
    for j = i+1:n
        k = k+1;
        c4(k) = abs(h(i)-h(j))-1;
    end
end

ceq = [];

c = [c1;c2;c3;c4];

end

接下来，使用fmincon函数进行求解。如下所示：

options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','interior-point');

x0 = [10*rand;10*rand(n-2,1);10*rand];
lb = [0;zeros(n-2,1);2];
ub = [250;500*ones(n-2,1);1000];
A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];

[x,fval] = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon,options);

其中，@mycon是用来定义非线性约束的函数，其代码如下：

function [c,ceq] = mycon(x)

r = x(1);
h = x(2:end-1);
n = x(end);

c1 = pi*r^2 + 10 - 500^2/n;
c2 = pi*r^2 + 2*r*h + 10 - (500-r)^2;
c3 = 2*r + 5 - (500-2*r-5)/(n-1);

c4 = zeros(n*(n-1)/2,1);
k = 0;
for i = 1:n-1
    for j = i+1:n
        k = k+1;
        c4(k) = abs(h(i)-h(j))-1;
    end
end

ceq = [];

c = [c1;c2;c3;c4];

end

这样就可以得到最优解了。