x^2-y^2+xy在x^2+y^2≤1情况下的最大值和最小值是多少？

我们可以使用拉格朗日乘数法来求解这个问题。首先，我们可以定义一个函数：

$$
f(x,y) = x^2 - y^2 + xy
$$

然后，我们需要引入一个约束条件：

$$
g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \leq 0
$$

接下来，我们定义拉格朗日乘子函数：

$$
L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)
$$

我们需要求解以下方程组：

$$
\begin{cases}
\nabla L(x,y,\lambda) = 0 \\
g(x,y) \leq 0 \\
\lambda \geq 0 \\
\lambda g(x,y) = 0
\end{cases}
$$

其中，$\nabla L(x,y,\lambda)$ 表示 $L(x,y,\lambda)$ 对 $x$、$y$、$\lambda$ 的偏导数向量。

将 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 带入拉格朗日乘子函数中，我们有：

$$
L(x,y,\lambda) = x^2 - y^2 + xy - \lambda(x^2 + y^2 - 1)
$$

对 $L(x,y,\lambda)$ 分别求偏导数，并令其等于 $0$，我们得到：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + y - 2\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = -2y + x - 2\lambda y = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 \leq 0 \\
\lambda \geq 0 \\
\lambda(x^2 + y^2 - 1) = 0
\end{cases}
$$

解这个方程组，我们可以得到以下解：

$$
\begin{cases}
x = \frac{1}{\sqrt{3}} \\
y = -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\lambda = \frac{2}{3}
\end{cases}
$$

或者：

$$
\begin{cases}
x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \\
y = \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\lambda = \frac{2}{3}
\end{cases}
$$

我们可以将这些解带入原函数 $f(x,y)$ 中，得到最大值和最小值：

$$
f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2}{3\sqrt{3}} \\
f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{2}{3\sqrt{3}}
$$

因此，在 $x^2+y^2\leq1$ 的情况下，函数 $x^2-y^2+xy$ 的最大值为 $\frac{2}{3\sqrt{3}}$，最小值为 $-\frac{2}{3\sqrt{3}}$。