在[-1,1]上，f(x)=|x|求出在Ф¡ =｛span｛1.x.x∧2｝中的最佳平方逼近函数。MATLAB

在[-1, 1]区间上，你提到的函数 \( f(x) = |x| \) 是一个非线性的简单函数，它是一个绝对值函数，对于 \( x \geq 0 \)，\( f(x) = x \)，对于 \( x < 0 \)，\( f(x) = -x \)。为了在正交基 \(\Phi_n = \{1, x, x^2\}\) 中找到最佳平方逼近函数，我们通常会寻找多项式基下的最小二乘拟合。

在这个例子中，因为 \( x^2 \) 已经包含了 \( x \) 的二次信息，而 \( |x| \) 并不是 \( x \) 或者 \( x^2 \) 的线性组合，所以最佳的平方逼近函数不会是包含 \( x^2 \) 的。实际上，最佳的二次多项式近似将是只包含 \( x \) 和常数项的，即一次函数 \( p(x) = a + bx \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是通过最小化 \( \int_{-1}^{1} (|x| - p(x))^2 dx \) 来确定的系数。

在 MATLAB 中，你可以这样做：

% 定义数据点 (x, y) 对于 f(x)
x = linspace(-1, 1, 100); % 等间距采样 [-1, 1]
y = abs(x);

% 初始化多项式的系数矩阵和常数项
A = [ones(size(x)), x];
b = zeros(1, size(x));

% 最小二乘求解
coeffs = inv(A'*A)*A'*y;

% 最佳二次逼近函数 p(x)
p_x = coeffs(1) + coeffs(2)*x;