非线性方程求解二分法

非线性方程求解中的二分法，也称为黄金分割法或牛顿-拉弗森方法的一种变种，主要用于在一维连续函数上寻找零点。这种方法的基本思想是：从两个可能的解（通常是函数的最大值和最小值之间的点）开始，通过不断取函数值为正负交替区间的中点，逐步接近零点所在的位置。每次迭代都会更新下一个猜测位置，直到满足某个收敛条件，比如新旧估计值之差小于预设的阈值。

在MATLAB中，虽然标准库函数如`fzero`或者`fsolve`已经实现了高效的非线性方程求解，但如果想手动实现二分法，可以采用以下步骤：

function root = bisection(f, a, b, tol)
    % 检查函数在区间[a, b]内是否有异号点
    if f(a)*f(b) >= 0
        error('The function does not change sign in the interval');
    end
    
    % 初始步长
    step = b - a;
    
    while step > tol
        c = a + step; % 取中间点
        
        % 更新下一次尝试的位置
        if f(c)*f(a) < 0
            b = c; % 函数值改变符号，向左移动
        else
            a = c; % 函数值不变，向右移动
        end
        
        step = b - a; % 更新步长
    end
    
    root = (a + b) / 2; % 最终估计的根
end

% 示例：求解方程x^2 - 4 = 0 的根
f = @(x) x^2 - 4;
root = bisection(f, -5, 5, 1e-6); % 精度设置为1e-6
disp(['Root found approximately at: ', num2str(root)])