# 【深基7.例2】质数筛 ## 题目描述 输入 $n$ 个不大于 $10^5$ 的正整数。要求全部储存在数组中，去除掉不是质数的数字，依次输出剩余的质数。 ## 输入格式 第一行输入一个正整数 $n$，表示整数个数。 第二行输入 $n$ 个正整数 $a_i$，以空格隔开。 ## 输出格式 输出一行，依次输出 $a_i$ 中剩余的质数，以空格隔开。 ## 样例 #1 ### 样例输入 #1 ``` 5 3 4 5 6 7 ``` ### 样例输出 #1 ``` 3 5 7 ``` ## 提示 数据保证，$1\le n\le100$，$1 \leq a_i \leq 10^5$。

这是一个质数筛的问题。你需要将输入的正整数中的非质数去除，然后输出剩余的质数。你可以使用以下步骤来解决这个问题：

1. 创建一个长度为 $10^5$ 的布尔数组 `isPrime`，用来记录每个数字是否为质数。初始时，将所有元素设置为 `true`。
2. 将 `isPrime[0]` 和 `isPrime[1]` 设置为 `false`，因为它们不是质数。
3. 从 $2$ 开始遍历到 $10^5$，将所有能被当前数字整除的数字标记为非质数，即将对应位置的 `isPrime` 设置为 `false`。
4. 遍历输入的正整数数组，输出其中 `isPrime` 对应位置为 `true` 的数字。

按照这个思路，你可以实现以下代码来解决这个问题：

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洛谷 p5736 【深基7.例2】质数筛 java题解

洛谷p5736 【深基7.例2】质数筛是一个关于质数筛法的题目，要求我们根据输入的一个正整数n，找出小于等于n的所有质数。

质数是指只能被1和自身整除的大于1的整数，比如2、3、5、7等。质数筛法是一种常见且高效的找出质数的方法。

在这道题中，我们需要使用质数筛法来找出小于等于n的所有质数。首先，我们定义一个boolean类型的数组isPrime，用来标记每个数字是否是质数。初始时，我们将isPrime数组的所有元素都设置为true。

然后，我们从2开始遍历到n，对于每个数字i，如果isPrime[i]为true，说明这个数字是质数。那么我们就需要将i的倍数都标记为false，因为这些倍数一定不是质数。具体做法是，从2*i开始，每次增加i，将对应的isPrime数组的元素都置为false。

遍历结束后，isPrime数组中为true的元素即为小于等于n的所有质数。我们可以遍历isPrime数组，将为true的下标即为质数输出即可。

这个算法的时间复杂度是O(nloglogn)，相较于直接遍历每个数字并判断是否是质数的方法，时间复杂度更低，效率更高。

对于这个题目的java实现，我们可以使用一个boolean数组isPrime来标记每个数字是否是质数，使用一个ArrayList来存储所有的质数，最后将ArrayList转化为数组输出。

代码示例如下：

import java.util.ArrayList;

public class Main{
    public static void main(String[] args){
        int n = 100; // 输入的正整数n
        boolean[] isPrime = new boolean[n+1]; // 标记每个数字是否是质数的数组
        ArrayList<Integer> primes = new ArrayList<>(); // 存储质数的ArrayList
        
        // 初始化isPrime数组
        for(int i=2; i<=n; i++){
            isPrime[i] = true;
        }
        
        // 质数筛法
        for(int i=2; i<=n; i++){
            if(isPrime[i]){
                primes.add(i);
                for(int j=2*i; j<=n; j+=i){
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        
        // 将ArrayList转化为数组输出
        int[] result = new int[primes.size()];
        for(int i=0; i<primes.size(); i++){
            result[i] = primes.get(i);
        }
        
        // 输出结果
        for(int i=0; i<result.length; i++){
            System.out.print(result[i] + " ");
        }
    }
}

这样，我们就可以通过这段代码来实现洛谷p5736题目的要求，找出小于等于输入的正整数n的所有质数，并将它们按从小到大的顺序输出。

用户输入一个正整数N，计算并输出不大于N的最大素数。

### 回答1：
以下是计算不大于N的最大素数的 Python 代码：

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def max_prime(n):
    for i in range(n, 1, -1):
        if is_prime(i):
            return i
    return None

n = int(input("请输入一个正整数N："))
print("不大于N的最大素数是：", max_prime(n))

如果用户输入的N是负数或0，程序会返回None。

### 回答2：
首先，我们需要明确素数的定义：素数指的是只能被1和自身整除的正整数，即除了1和自身之外没有其他约数的数。

根据题目要求，我们需要找出不大于N的最大素数。为了实现这个目标，我们可以从N开始逆序向下寻找素数，直到找到满足条件的素数为止。

具体算法如下：
1. 接收用户输入的正整数N。
2. 从N开始逆序向下遍历，判断每一个数是否为素数。
3. 对于每一个遍历到的数m，判断是否为素数的方法是：从2到sqrt(m)逐个判断是否整除m，如果整除则m不是素数，跳到第5步；如果在这之前没有找到能整除m的数，则m为素数，跳到第4步。
4. 输出m，即为不大于N的最大素数。
5. 结束算法。

需要注意的是，在判断是否为素数的过程中我们可以使用开方运算来减少计算量，因为一个数m的约数一定是成对出现的，而且较小的约数一定不能超过m的开方。

以下是一个示例的Python代码实现：

import math

def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

N = int(input("请输入一个正整数N："))

for i in range(N, 1, -1):
    if is_prime(i):
        print("不大于N的最大素数为:", i)
        break

通过这段代码，我们可以根据用户输入找出不大于N的最大素数，并输出结果。

### 回答3：
算法思路如下：
1. 用户输入一个正整数N。
2. 从N开始递减，判断每一个数是否为素数。
3. 如果一个数是素数，输出该数，程序结束。
4. 如果N小于等于2，则输出2，程序结束。
5. 如果N大于2，但是N本身不是素数，则继续递减判断前一个数是否为素数，直到找到一个素数为止。

下面是300字中文回答：

用户输入一个正整数N，我们要计算并输出不大于N的最大素数。

我们可以从N开始递减地判断每一个数是否为素数。如果一个数是素数，那么就输出该数并结束程序。而如果N小于等于2，则输出2并结束程序。

但是如果N大于2，却不是素数，就需要继续递减判断前一个数是否为素数，直到找到一个素数为止。

素数的定义是除了1和它本身，没有其他因数可以整除它。因此我们可以从2开始到sqrt(N)的范围内判断每一个数是否可以整除N，如果找到一个可以整除N的数，则N不是素数。

我们可以用一个for循环和一个if条件判断来实现这个递减的过程。在循环中，我们每次将N减1，并判断是否为素数。如果是素数，就输出该数，并结束循环。

通过这样的算法，我们可以得到不大于N的最大素数。