gauss-seidel迭代法 matlab

Gauss-Seidel迭代法是一种数值线性代数求解系统方程的迭代算法，主要用于解决稀疏矩阵的线性系统Ax=b。它通过交替更新每个变量的值，使得每次迭代都更接近于系统的精确解。在MATLAB中，可以使用内置函数如`iterativeSolvers/gs`或者自定义循环实现。

以下是基本步骤以及在MATLAB中的应用示例：

1. 初始化：给定系数矩阵A、常数向量b和初始猜测解x0。
2. 循环迭代：对于矩阵中的每一个元素i，根据当前已知的邻域值计算新的值xi。
- 首先更新左侧元素：`xi = (b(i) - sum(A(i,:) * x)) / A(i,i)`
- 然后更新右侧元素，但跳过当前正在处理的行：`for j=1:i-1, x(j) = x(j); end; for j=i+1:length(x), x(j) = x(j) + A(i,j) * xi; end`
3. 继续迭代直到满足停止准则（例如，当所有元素的改变小于某个阈值或达到预设的最大迭代次数）。

% 假设有矩阵A和向量b
A = ...; % 你的稀疏矩阵
b = ...; % 目标向量
x0 = zeros(size(A,2)); % 初始猜测解

tol = 1e-6; % 停止准则
maxIters = 1000; % 最大迭代次数

[x, iter] = iterativeSolvers.gs(A, b, 'InitialGuess', x0, 'Tolerance', tol, 'MaxIter', maxIters);

% 迭代结果及信息
disp('Solution:')
disp(x);
disp(['Iterations taken: ', num2str(iter)]);