已知排队模型为M/M/1、顾客到达率为λ、服务员服务率为 ,设某交换站有两种输出线,A是主用线,B是备用线。当A线被占用时再有呼叫才用B线来传输,模型如图2-1,令二维矢量 为系统状态, ,“0”表示空闲,“1”表示占线,则状态集为 ,系统的转移状态图如图2-2,试列出稳态方程,且4个稳态方程只有3个是独立的,另附加归一条件, 设 ,说明无阻塞率、备用线阻塞率( )、主用线阻塞率( ),系统阻塞率( )各是多少? 图2-1
时间: 2024-04-01 21:38:35 浏览: 101
由于这是一个M/M/1排队模型,所以到达率和服务率都是常数。设系统中有n个顾客正在排队,则系统状态可以表示为一个二维矢量:
S = (n, 0/1)
其中,第一个分量n表示正在排队的顾客数,第二个分量0/1表示备用线是否正在被占用。
设P(n,0)和P(n,1)分别表示系统状态为(n,0)和(n,1)的稳态概率,则稳态方程可以表示为:
λP(n-1,0) = μP(n,0) + λP(n,1)
μP(n,0) = (λ+μ)P(n-1,0) + λP(n-1,1)
λP(n,1) = μP(n,1) + λP(n-1,0)
另外,由于稳态概率需要满足归一条件,即所有状态的概率之和为1,所以还需要添加归一条件:
P(n,0) + P(n,1) = 1
这样,我们就得到了4个线性方程,其中有3个是独立的。解出这3个方程,就可以得到所有状态的稳态概率。然后,可以通过稳态概率来计算各种阻塞率。
无阻塞率表示系统中没有任何顾客正在排队的概率,可以表示为:
P(0,0) = 1 / (1 + λ/μ)
备用线阻塞率表示备用线被占用且系统中有顾客正在排队的概率,可以表示为:
P(1,1) = λ / (μ + λ)
主用线阻塞率表示主用线被占用且系统中有顾客正在排队的概率,可以表示为:
P(n,1) = λP(n-1,0) / μ
系统阻塞率表示所有排队的顾客占所有顾客的比例,可以表示为:
Pb = Σn>0 P(n,0)
其中,Σ表示对n从1到无穷大求和。
需要注意的是,这些阻塞率不一定是独立的,例如当备用线阻塞时,主用线也可能被占用。因此,在实际计算时需要根据具体的情况进行综合考虑。
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