f(x)=|x|在【-1,1】上,求在g=span{1,x*x,x*x*x*x}上的最佳平方逼近
时间: 2024-04-26 14:20:09 浏览: 18
我们可以先使用 Gram-Schmidt 过程将 $g = \operatorname{span}\{1, x^2, x^4\}$ 转化为标准正交基。首先,我们可以选择 $f_1(x) = 1$ 作为 $g$ 的一组标准正交基。然后,我们可以选择 $f_2(x) = x^2 - \frac{\langle x^2, f_1 \rangle}{\|f_1\|^2}f_1 = x^2 - \frac{1}{2}$ 作为第二个标准正交基。最后,我们可以选择 $f_3(x) = x^4 - \frac{\langle x^4, f_1 \rangle}{\|f_1\|^2}f_1 - \frac{\langle x^4, f_2 \rangle}{\|f_2\|^2}f_2 = x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{8}$ 作为第三个标准正交基。因此,我们有:
$$g = \operatorname{span}\{1, x^2 - \frac{1}{2}, x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{8}\}$$
接下来,我们需要在 $g$ 中找到最佳平方逼近 $f(x) = |x|$。由于 $g$ 是一个三维的空间,我们需要找到 $g$ 中的三个系数 $a_0, a_1, a_2$,使得逼近函数 $p(x) = a_0 + a_1(x^2 - \frac{1}{2}) + a_2(x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{8})$ 最小化 $\|f(x) - p(x)\|_2^2$。
我们可以将 $f(x)$ 和 $p(x)$ 展开为幂级数的形式:
$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n = |x| = x - x^3 + x^5 - \cdots$$
$$p(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left(x^n - \frac{1}{2^{n/2}}\right) + \frac{3}{8}a_2 = a_0 + a_1x^2 + a_2x^4 + \cdots$$
注意到 $f(x)$ 是奇函数,因此 $a_0 = 0$。我们可以令 $\langle f, 1 \rangle = \langle f, x^2 - \frac{1}{2} \rangle = 0$ 来求解 $a_1$ 和 $a_2$:
$$\langle f, 1 \rangle = \int_{-1}^1 |x|\,dx = 2\int_0^1 x\,dx = 1$$
$$\langle f, x^2 - \frac{1}{2} \rangle = \int_{-1}^1 |x|(x^2 - \frac{1}{2})\,dx = 0$$
我们有:
$$a_1 = \frac{\langle f, x^2 - \frac{1}{2} \rangle}{\|x^2 - \frac{1}{2}\|^2} = 0$$
$$a_2 = \frac{\langle f, x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{8} \rangle}{\|x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{8}\|^2} = \frac{5}{8}$$
因此,最佳平方逼近为 $p(x) = \frac{5}{8}(x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{8})$,其平方误差为 $\|f(x) - p(x)\|_2^2 = \frac{9}{70}$。