设集合A={1,3,5,7,9,11,13,15},A上的一个划分S={{1,15},{3,9,11,13},{5,7}}。试求由S导出的A上的等价关系R。
时间: 2023-10-08 13:12:06 浏览: 30
由划分S可以得到三个等价类:[1,15]、[3,9,11,13]和[5,7]。因此,对于集合A中的任意两个元素x和y,如果它们在同一个等价类中,则它们之间存在等价关系,否则它们之间不存在等价关系。因此,由S导出的A上的等价关系R包含以下有序对:
(1,1)、(1,15)、(15,1)、(15,15)
(3,3)、(3,9)、(3,11)、(3,13)、(9,3)、(9,9)、(9,11)、(9,13)、(11,3)、(11,9)、(11,11)、(11,13)、(13,3)、(13,9)、(13,11)、(13,13)
(5,5)、(5,7)、(7,5)、(7,7)
因此,R = {(1,1),(1,15),(15,1),(15,15),(3,3),(3,9),(3,11),(3,13),(9,3),(9,9),(9,11),(9,13),(11,3),(11,9),(11,11),(11,13),(13,3),(13,9),(13,11),(13,13),(5,5),(5,7),(7,5),(7,7)}。
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根据划分的定义,集合A中的每个元素都必须属于且仅属于划分中的一个集合。因此,我们可以将划分S中的每个集合中的元素两两之间都建立一个等价关系,即:
(1,15)R
(3,9)R(3,11)R(3,13)R(9,11)R(9,13)R(11,13)R
(5,7)R
同时,由于这些等价关系之间是互不干扰的,因此我们可以将它们合并成一个等价关系。最终得到的A上的等价关系R为:
(1,15)R
(3,9)R(3,11)R(3,13)R(9,11)R(9,13)R(11,13)R
(5,7)R
其中,R表示等价关系。
设A={1,2,3,4,5,6,7,8},A上的一个划分S={{1,2,3},{4,8},{5,6,7}},写出划分S所对应等价关系的关系矩阵
我理解了你的问题,我可以帮你回答。对于集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的划分S={{1,2,3},{4,8},{5,6,7}},其对应的等价关系R为:{(1,2), (1,3), (2,3), (4,8), (5,6), (5,7), (6,7)}. 可以表示为如下的关系矩阵:
$$
M_R = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
其中$M_R(i,j)=1$表示$i$和$j$之间有等价关系,$M_R(i,j)=0$表示$i$和$j$之间没有等价关系。