{0}D{t}^{\alpha}u(t)=\frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}\int_{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha-1}u^{(m)}(s)ds解释这个代码
时间: 2023-11-01 17:27:02 浏览: 33
这段代码是一个分数阶微积分方程,其中t是时间,u(t)是一个未知函数。方程的左边是分数阶导数,表示t时刻的函数值与之前某些时刻的函数值的加权和。其中,D是分数阶导数的算子,t^α是D作用于u(t)后的结果。
方程的右边是一个积分,表示在0到t的时间范围内,函数u(t)的第m阶导数在s时刻的值对(t-s)^(m-α)的加权和。其中,m和α都是常数,m-α>0,Γ是伽马函数,u^(m)表示u(t)的第m阶导数。
这个方程描述了一个分数阶阻尼振动的物理过程,其中分数阶导数反映了非局部的历史依赖,即振动的历史状态对当前状态的影响。解这个方程可以得到物理系统的运动规律和响应特性。
相关问题
u(i) = u(i) + t(i)^(m-j-1) / gamma(m-j) * frac(alpha, m-j) * t(i)^(alpha-(m-j-1)); 解释
这个公式中包含多个变量和符号,请允许我逐一解释:
- u(i)代表一个长度为i的序列的最后一个元素的值。
- t(i)代表一个长度为i的序列的所有元素的值的总和。
- m和j是常数,且m>j。
- gamma(m-j)代表gamma函数的值,具体定义可参考这里:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96%E4%B9%98%E6%B3%95。
- alpha是常数,且0<alpha<1。
- frac(alpha, m-j)代表alpha除以gamma(m-j)的值。
- t(i)^(m-j-1)代表t(i)的(m-j-1)次方。
- t(i)^(alpha-(m-j-1))代表t(i)的(alpha-(m-j-1))次方。
综合来看,这个公式的意义是:对于一个长度为i的序列,根据序列的总和和最后一个元素的值来计算下一个元素的值。其中,序列的总和越大,下一个元素的值就越大;而最后一个元素的值越大,下一个元素的值就越小。同时,公式中的其他常数和变量也会对计算结果产生影响。
利用前两问的结论,证明如下定理: AdaBoost迭代$T$轮后返回的分类器$f$, 经验误差满足 \begin{align*} \hat R_{D}(f) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0} \leq \exp\left[-2 \sum_{t=1}^T \left(\frac12 - \epsilon_t\right)^2\right]. \end{align*} 进一步地, 若对于任意的$t \in [T]$, $\gamma \leq (\frac12 - \epsilon_t)$, 那么有 \begin{align*} \hat R_{D}(f) \leq \exp(-2\gamma^2 T). \end{align*}
为了证明该定理,我们首先利用前两问的结论,得到规范化因子$Z_t$和基学习器误差$\epsilon_t$的关系:
\begin{align*}
Z_t = 2\sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)}, \quad \forall t \in [T].
\end{align*}
接着,我们考虑AdaBoost算法迭代$T$轮后返回的分类器$f$在训练集$D$上的经验误差$\hat{R}_D(f)$。根据定义,经验误差可以表示为:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0},
\end{align*}
其中,$1_{y_i f(\x_i) \leq 0}$为指示函数,当$y_i f(\x_i) \leq 0$时,函数值为1,否则为0。也就是说,$\hat{R}_D(f)$表示在训练集$D$上,分类器$f$的错误率。
由于AdaBoost算法的迭代过程中,每一轮都会得到一个基学习器$h_t$和其对应的系数$\alpha_t$,所以最终的分类器$f$可以表示为:
\begin{align*}
f(x) = \text{sign}\left(\sum_{t=1}^T \alpha_t h_t(x)\right).
\end{align*}
因此,我们可以将$\hat{R}_D(f)$表示为:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i f(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{y_i \sum_{t=1}^T \alpha_t h_t(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\sum_{t=1}^T \alpha_t y_i h_t(\x_i) \leq 0}.
\end{align*}
接下来,我们需要将$\hat{R}_D(f)$表示为规范化因子$Z_t$和基学习器误差$\epsilon_t$的形式。根据AdaBoost算法的定义,基学习器误差$\epsilon_t$可以表示为:
\begin{align*}
\epsilon_t = \frac{\sum_{i=1}^m w_{i,t} \cdot \mathbb{I}(y_i \neq h_t(x_i))}{\sum_{i=1}^m w_{i,t}},
\end{align*}
其中,$w_{i,t}$表示第$t$轮迭代中样本$i$的权重。
将上式代入$\hat{R}_D(f)$中,得到:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\sum_{t=1}^T \alpha_t y_i h_t(\x_i) \leq 0} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m 1_{\prod_{t=1}^T \exp(-\alpha_t y_i h_t(\x_i)) \geq 1} \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T \sqrt{1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t)} \\
&\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T \exp\left[-2\cdot\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right] \\
&= \exp\left[-2\sum_{t=1}^T\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right],
\end{align*}
其中,$\gamma_t = \arccos(2\epsilon_t - 1)$。
将上式变形得到:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) \leq \exp\left[-2\sum_{t=1}^T\left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)^2\right].
\end{align*}
这就证明了定理的第一部分。接下来,我们考虑第二部分的证明。假设对于任意的$t \in [T]$,$\gamma \leq \left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)$,则有:
\begin{align*}
1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t) &= 1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\arccos(2\epsilon_t - 1)) \\
&= 1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot (1 - (2\epsilon_t - 1)^2) \\
&= 4\epsilon_t(1-\epsilon_t).
\end{align*}
因此,$\prod_{t=1}^T \sqrt{1 - 4\epsilon_t^2 \cdot (1-\epsilon_t)^2 \cdot \sin^2(\gamma_t)} = \prod_{t=1}^T Z_t$. 由于$\gamma \leq \left(\frac{1}{2} - \epsilon_t\right)$,所以有$\sin(\gamma_t) \geq \gamma_t$,从而有:
\begin{align*}
Z_t = 2\sqrt{\epsilon_t(1-\epsilon_t)} \geq 2\sqrt{\left(\frac{1}{2} - \gamma\right)\cdot\left(\frac{1}{2} + \gamma\right)} = 2\gamma.
\end{align*}
因此,有:
\begin{align*}
\hat{R}_D(f) &\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T Z_t \\
&\leq \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \prod_{t=1}^T (2\gamma) \\
&= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (2\gamma)^T \\
&= \left(\frac{2\gamma}{m}\right)^T \\
&= \exp(-2\gamma^2 T),
\end{align*}
证毕。