已知一质量为m的质点在x轴上运动,质点只受到指向原点的引力的作用,引力大小与质点离原点的距离x的三次方成反比,即f=-k/x的三次方,k是比例常数.设质点在x=A时的速度为零,求(1)质点在x=A/2处的速度的大小;(2)此过程引力所做的功是多少?
时间: 2024-05-21 13:10:17 浏览: 44
解:
(1) 质点在x=A时速度为零,因此机械能守恒,即动能和势能之和恒定。设质点在x=A/2时的速度为v,则有:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{k}{A} = \frac{1}{2}m\cdot 0^2 - \frac{k}{A/2}$
化简可得:
$v = \sqrt{\frac{k}{2m}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{A/2}\right)} = \sqrt{\frac{k}{m}\cdot\frac{3}{4A}}$
(2) 引力所做的功等于势能的改变,即:
$W = \Delta U = U_2 - U_1 = \frac{k}{A/2} - \frac{k}{A}$
化简可得:
$W = \frac{kA}{4}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{A/2}\right) = \frac{3kA}{4}$
相关问题
已知质点沿x轴正向做匀加速直线运动,加速度大小为-kv,初始质点位于坐标原点O处,初速度大小为V0,求质点的运动方程,给出计算过程
### 回答1:
根据匀加速直线运动的公式,质点的位移可以表示为:x = Vt - 1/2kv^2t^2
质点的速度可以表示为:v = V - kvt
将上式代入位移公式中,得到质点的运动方程为:x = Vt - 1/2(V - kvt)^2/k
计算过程如下:
首先,根据加速度大小为-kv,可以得到质点的加速度公式为:a = -kv
然后,根据初速度大小为V,可以得到质点的初速度公式为:v = V
接着,根据位移公式,可以得到质点的位移公式为:x = Vt - 1/2at^2
将加速度公式代入上式中,得到:x = Vt - 1/2(-kv)t^2
化简得到:x = Vt + 1/2kv^2t^2
然后,根据速度公式,可以得到质点的速度公式为:v = v + at
将加速度公式代入上式中,得到:v = V - kvt
将上式代入位移公式中,得到质点的运动方程为:x = Vt - 1/2(V - kvt)^2/k
因此,质点的运动方程为:x = Vt - 1/2(V - kvt)^2/k
### 回答2:
质点的运动方程可以通过积分得到。
加速度大小为-kv,表示加速度的大小与速度的大小成反比。设质点的位置为x(t),速度为v(t),那么根据题意:
dv(t)/dt = -kv(t) (1)
根据(1)式,我们可以写出一个一阶线性常微分方程:
dv(t)/v(t) = -kdt
对方程两边同时积分:
∫dv(t)/v(t) = -∫kdt
得到:
ln|v(t)| = -kt + C1 (2)
其中C1是任意常数。
初始速度为V0,即当t=0时,v(0)=V0。将这个条件代入(2)式,可以解得C1=ln|V0|。
代入之后的方程变为:
ln|v(t)| = -kt + ln|V0|
再次对方程两边同时应用指数函数,得到:
|v(t)| = e^(-kt + ln|V0|) = |V0|e^(-kt) (3)
质点的速度的正负号表示速度的方向,质点的初速度为正,所以质点的速度会一直保持正值。
根据题意,初始位置为x(0)=0,即质点位于原点。对速度v(t)进行积分,得到:
dx(t)/dt = v(t)
对上式两边同时积分,得到:
∫dx(t) = ∫v(t)dt
x(t) = ∫|V0|e^(-kt)dt
由(3)式可知,|V0|和k为常数,所以可以将|V0|提出积分号外,并对指数函数按照常数法则进行积分:
x(t) = -|V0|/k ∫e^(-kt)dt
x(t) = -|V0|/k * (-1/k) * e^(-kt) + C2
因此,质点的运动方程可以表示为:
x(t) = |V0|/k^2 * e^(-kt) + C2
其中C2为任意常数,由初始位置x(0)=0得到C2=0。
最终质点的运动方程为:
x(t) = |V0|/k^2 * e^(-kt)
计算过程:根据题意列出速度的一阶线性常微分方程,积分得到速度方程,再将速度方程积分得到质点的运动方程。注意方程中的任意常数可以通过给定的初始条件求解。
一质点沿x轴正方向运动,加速度a等于2t,t等于2秒时,质点静止于坐标原点左侧两米处,求质点的运动方程。
根据题意,我们可以首先求出质点在t=2秒时的速度v:
a = 2t = 2*2 = 4m/s^2
根据匀加速直线运动的公式:v = at
v = 4 * 2 = 8m/s
现在我们已知了质点的初始坐标x0为-2m,初始速度v0为0m/s,加速度a为2t,现在来求质点的运动方程。
首先求出质点在t秒时的坐标x:
x = x0 + v0*t + 1/2 * a * t^2
x = -2 + 0*t + 1/2 * 2t * t^2
x = -2 + t^3
因此,质点的运动方程为x = -2 + t^3。
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