简单迭代法matlab程序

下面是一个简单的迭代法MATLAB程序：

function x = simple_iter(A,b,N,tol)
% SIMPLE_ITER 用简单迭代法求解线性方程组 Ax = b
% x = SIMPLE_ITER(A,b,N,tol)  将A,b矩阵和最大迭代次数N和容差tol作为输入，返回解向量x

n = length(b);   % 矩阵A的维数
x = zeros(n,1);  % 初始化解向量

% 迭代过程
for k = 1:N
    x_old = x;  % 保存前一次的解向量
    for i = 1:n
        x(i) = (b(i) - A(i,:)*x_old + A(i,i)*x_old(i)) / A(i,i);
    end
    % 判断是否收敛
    if norm(x - x_old,inf) < tol
        fprintf('迭代次数: %d\n', k);
        return;
    end
end

% 如果迭代次数超过N，输出警告信息
fprintf('迭代次数超过%d次，算法未收敛\n', N);

其中，A是系数矩阵，b是右侧向量，N是最大迭代次数，tol是容差。程序先初始化解向量x为0，然后进行迭代过程。每次迭代时，对于第i个未知数，根据简单迭代法的公式计算新的解x(i)。当解向量的变化小于容差tol时，算法收敛，输出迭代次数和解向量；如果迭代次数超过最大次数N仍未收敛，输出警告信息。

相关问题

简单迭代法matlab实现

简单迭代法是一种求解方程 $f(x) = 0$ 的数值方法。其基本思想是，通过不断迭代 $x_{k+1} = g(x_k)$，使得迭代序列 $\{x_k\}$ 逐渐逼近 $f(x) = 0$ 的解。其中，$g(x)$ 为迭代函数。

MATLAB 代码示例如下：

function [x,iter] = simple_iter(g,x0,tol,maxiter)
% g: 函数句柄，表示迭代函数
% x0: 初始估计值
% tol: 迭代精度要求
% maxiter: 最大迭代次数

% 初始化迭代次数
iter = 0;

% 开始迭代
while (iter < maxiter)
    % 计算当前迭代值
    x = g(x0);
    % 判断是否满足精度要求
    if (abs(x - x0) < tol)
        return;
    end
    % 更新迭代次数和估计值
    iter = iter + 1;
    x0 = x;
end

% 达到最大迭代次数仍未满足精度要求
error('达到最大迭代次数仍未满足精度要求');
end

使用方法如下：

假设要求解方程 $x^2 - 2 = 0$，则可定义迭代函数句柄，如下：

g = @(x) sqrt(2/x);

然后，调用 `simple_iter` 函数求解方程：

[x,iter] = simple_iter(g,1,1e-6,100);

其中，`x` 表示求得的近似解，`iter` 表示迭代次数。

需要注意的是，简单迭代法的收敛性需要满足一定条件，否则可能会出现发散的情况。因此，在使用简单迭代法求解方程时，需要对迭代函数的选取进行一定的分析和判断。

简单迭代法matlab例题程序

以下是一个简单的 Matlab 迭代法例子程序，用于求解方程组 Ax=b，其中 A 是系数矩阵，b 是常数向量。

% 设定参数
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];
x0 = [0; 0; 0]; % 初始解
tol = 1e-6; % 容忍误差
maxiter = 100; % 最大迭代次数

% 迭代过程
x = x0;
for iter = 1:maxiter
    x_new = zeros(size(x));
    for i = 1:length(b)
        x_new(i) = (b(i) - A(i,[1:i-1,i+1:end]) * x([1:i-1,i+1:end])) / A(i,i);
    end
    if norm(x_new - x) < tol
        break;
    end
    x = x_new;
end

% 结果输出
disp(['迭代次数: ', num2str(iter)]);
disp(['方程组的解: ']);
disp(x_new);

该程序使用了 Jacobi 迭代法来求解方程组 Ax=b，其中 x 表示未知向量。具体来说，Jacobi 迭代法将系数矩阵 A 分解为 A=D-L-U，其中 D 是 A 的对角线矩阵，L 是 A 的下三角矩阵，U 是 A 的上三角矩阵。然后迭代过程中，每次更新解向量的第 i 个分量时，只使用未知向量的前 i-1 和后 i+1 分量，而不使用当前迭代步中的解向量的第 i 个分量。具体来说，迭代公式为

$$
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}(b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)}), \quad i=1,2,\ldots,n.
$$

其中 k 表示迭代步数。由于每次迭代只需要用到上一步的解向量，因此 Jacobi 迭代法可以大大降低计算量，适用于大规模稀疏矩阵的求解。