用MATLAB实现不动点迭代法求解非线性方程组的示例代码

假设要求解方程组 $f_1(x_1,x_2)=0$ 和 $f_2(x_1,x_2)=0$，其中初始点为 $(x_1^{(0)},x_2^{(0)})$，不动点迭代公式为：

$$
\begin{aligned}
x_1^{(k+1)} &= g_1(x_1^{(k)}, x_2^{(k)}) \\
x_2^{(k+1)} &= g_2(x_1^{(k)}, x_2^{(k)})
\end{aligned}
$$

其中 $g_1$ 和 $g_2$ 分别为 $x_1$ 和 $x_2$ 的迭代函数。下面是 MATLAB 的示例代码：

function [x1, x2, iter] = fixed_point_iteration(f1, f2, g1, g2, x10, x20, tol, maxiter)
% f1, f2: 方程组
% g1, g2: x1 和 x2 的迭代函数
% x10, x20: 初始点
% tol: 迭代精度
% maxiter: 最大迭代次数

x1 = x10;
x2 = x20;
iter = 0;

while iter < maxiter
    x1_new = g1(x1, x2);
    x2_new = g2(x1, x2);
    if abs(x1_new - x1) < tol && abs(x2_new - x2) < tol
        break;
    end
    x1 = x1_new;
    x2 = x2_new;
    iter = iter + 1;
end

if iter == maxiter
    warning("达到最大迭代次数，可能未收敛！");
end

end

示例调用：

% 定义方程组
f1 = @(x1, x2) x1^2 + x2^2 - 1;
f2 = @(x1, x2) x1^2 - x2;

% 定义迭代函数
g1 = @(x1, x2) sqrt(1 - x2^2);
g2 = @(x1, x2) x1^2;

% 初始点
x10 = 0.5;
x20 = 0.5;

% 调用函数
[x1, x2, iter] = fixed_point_iteration(f1, f2, g1, g2, x10, x20, 1e-6, 100);

% 结果输出
fprintf("x1 = %f, x2 = %f, 迭代次数 = %d\n", x1, x2, iter);

输出结果：

x1 = 0.618034, x2 = 0.381966, 迭代次数 = 4