python实现动态规划

动态规划是一种常用的算法思想，可以用来解决很多问题，比如最长公共子序列、背包问题等。Python实现动态规划的步骤如下：

1. 定义状态：找到问题中的状态变量，定义状态表示方法。
2. 初始化状态：将状态初始化为问题的初始状态。
3. 状态转移：根据问题的状态转移方程，计算出每个状态的值。
4. 计算结果：根据问题的要求，计算出最终结果。

下面以背包问题为例，演示动态规划的实现过程。

背包问题：有一个容量为C的背包和n个物品，每个物品有一个重量w和一个价值v，现在需要选择一些物品放入背包中，使得它们的总重量不超过C，同时总价值最大。

1. 定义状态：设f(i,j)表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
2. 初始化状态：f(0,j) = 0, f(i,0) = 0。
3. 状态转移：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f(i,j) = f(i-1,j)；
- 放入背包中，此时f(i,j) = f(i-1,j-w[i]) + v[i]；
综合上述两种情况，状态转移方程为：f(i,j) = max(f(i-1,j), f(i-1,j-w[i]) + v[i])。
4. 计算结果：最终结果为f(n,C)。

下面是Python实现的代码：

def knapsack(C, w, v):
n = len(w)
f = [ * (C+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, C+1):
if j < w[i-1]:
f[i][j] = f[i-1][j]
else:
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])
return f[n][C]

# 测试
C = 10
w = [2, 3, 4, 5]
v = [3, 4, 5, 6]
print(knapsack(C, w, v)) # 输出：10