分支限界法求解0-1背包问题的代码解题思路

以下是使用Python编写的分支限界法求解0-1背包问题的代码：

import heapq

class Node:
    def __init__(self, level, profit, weight, bound):
        self.level = level  # 当前节点在搜索树中的深度
        self.profit = profit  # 当前节点的价值
        self.weight = weight  # 当前节点的重量
        self.bound = bound  # 当前节点的价值上界

    def __lt__(self, other):
        return self.bound > other.bound  # 用于堆排序，按照价值上界从大到小排序

def bound(node, n, W, values, weights):
    """计算给定节点的价值上界"""
    if node.weight >= W:  # 当前节点的重量超过背包容量，无法再选取物品
        return 0
    
    # 计算当前节点已选取的物品的总价值
    profit_bound = node.profit
    
    # 从剩余的物品中选择单位价值最高的物品，直到背包装满或者没有物品可选为止
    j = node.level + 1
    totweight = node.weight
    while j < n and totweight + weights[j] <= W:
        totweight += weights[j]
        profit_bound += values[j]
        j += 1
    
    # 如果还有剩余容量，则选择单位价值最高的物品的一部分
    if j < n:
        profit_bound += (W - totweight) * values[j] / weights[j]
    
    return profit_bound

def knapsack_bfs(n, W, values, weights):
    """使用分支限界法求解0-1背包问题"""
    q = []
    root = Node(-1, 0, 0, 0)
    heapq.heappush(q, root)
    max_profit = 0
    while q:
        node = heapq.heappop(q)
        if node.bound > max_profit:  # 当前节点的价值上界大于已知的最大价值，需要继续搜索
            if node.level == n - 1:  # 已经搜索到叶子节点，更新最大价值
                max_profit = node.profit
            else:
                # 选择当前节点的下一个物品，生成新的节点
                new_node = Node(node.level + 1,
                                node.profit + values[node.level + 1],
                                node.weight + weights[node.level + 1],
                                bound(node, n, W, values, weights))
                if new_node.weight <= W:  # 新节点的重量未超过背包容量，加入堆中
                    heapq.heappush(q, new_node)
                
                # 不选择当前节点的下一个物品，生成新的节点
                new_node = Node(node.level + 1,
                                node.profit,
                                node.weight,
                                bound(node, n, W, values, weights))
                if new_node.bound > max_profit:  # 新节点的价值上界大于已知的最大价值，加入堆中
                    heapq.heappush(q, new_node)
    
    return max_profit

该代码使用了一个堆来保存搜索树中待处理的节点，并按照节点的价值上界从大到小进行排序，以保证每次处理的节点的价值上界都是当前堆中最大的。在每次处理节点时，先计算当前节点的价值上界，如果价值上界小于已知最大价值，则该节点可以被剪枝；否则，将当前节点的子节点加入堆中，继续搜索。搜索树中的叶子节点即为所有可能的解，选择其中价值最大的作为最优解。