首页求函数 f ( x , y , z ) = z arctan ( − 3 y 4 x ) 的第一偏导数 A. ∂ f ∂ x = B. ∂ f ∂ y = C. ∂ f ∂ z =

求函数 f ( x , y , z ) = z arctan ( − 3 y 4 x ) 的第一偏导数 A. ∂ f ∂ x = B. ∂ f ∂ y = C. ∂ f ∂ z =

时间: 2024-06-03 19:13:28 浏览: 150

一_偏导数的定义及其计算法.ppt

"偏导数的定义及其计算法" 偏导数是函数对自变量的导数，它是函数在某一点处对自变量的一阶导数。偏导数的定义是：设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，对应地函数有增量 $\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$，如果 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial x}$。类似地，可以定义函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial y}$。偏导数的概念可以推广到二元以上函数，如 $z = f(x, y, z)$，可以定义函数 $z = f(x, y, z)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处对 $x, y, z$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial z}{\partial z}$。偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线的斜率。例如，函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 是曲面被平面 $y = y_0$ 所截得的曲线在点 $(x_0, y_0)$ 处的切线 $x$ 轴的斜率。偏导数的高阶偏导数是函数对自变量的高阶导数。高阶偏导数可以是纯偏导或混合偏导。例如，函数 $z = f(x, y)$ 的二阶偏导数可以是 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。偏导数的应用非常广泛，如在拉普拉斯方程、偏微分方程等领域都有重要应用。此外，偏导数也可以用于解决实际问题，如求函数的极值、函数的最小值或最大值等。偏导数是函数对自变量的一阶导数，它是函数在某一点处对自变量的一阶导数。偏导数的概念可以推广到二元以上函数，并有着广泛的应用。

A. 对 x 求偏导数，利用链式法则和反三角函数求导公式，有： ∂ f ∂ x = z d d x [ arctan ( − 3 y 4 x ) ] = z 1 1 + ( − 3 y 4 x ) 2 d d x [ − 3 y 4 x ] = z 1 1 + ( − 3 y 4 x ) 2 ( 3 y ) ( − 4 ) x 2 = − 3 y z 4 x 2 + 9 y 2 x 2 + 1 1 + ( − 3 y 4 x ) 2 B. 对 y 求偏导数，同样利用链式法则和反三角函数求导公式，有： ∂ f ∂ y = z d d y [ arctan ( − 3 y 4 x ) ] = z 1 1 + ( − 3 y 4 x ) 2 d d y [ − 3 y 4 x ] = − 3 z x 4 1 + ( − 3 y 4 x ) 2 C. 对 z 求偏导数，显然有： ∂ f ∂ z = arctan ( − 3 y 4 x )

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