随机向量 服从 元正态分布 ,矩阵 ,p > d,期中 相互独立,服从标准正态分布 ,固定 , 令 为 元正态随机向量.产生独立同分布观测样本 .已知 ,记 的最大特征值 对应的特征向量 ,则 为第一主成分变量. (i) 建立第二主成分的优化模型 (3分)Python代码(不用svd
时间: 2023-12-14 10:36:27 浏览: 33
)(2分) (ii) 根据模型计算第二主成分变量 (3分)
(i) 第二主成分的优化模型可以表示为:
$$
\max_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\mathbf{w} \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{w}^T\mathbf{w} = 1, \ \mathbf{w}^T\mathbf{v}_1 = 0
$$
其中,$\mathbf{v}_1$是第一主成分的特征向量,$\mathbf{X}$是观测样本矩阵,$\mathbf{w}$是第二主成分的权重向量。
(ii) Python代码如下:
```python
import numpy as np
# 生成观测样本
n, p, d = 1000, 5, 10
X = np.random.randn(n, p, d)
# 计算第一主成分
v1 = np.linalg.eigvals(X.transpose(0, 2, 1) @ X)
w1 = np.random.randn(d)
for i in range(100):
w1 = X.transpose(0, 2, 1) @ X @ w1
w1 = w1 / np.linalg.norm(w1)
v2 = np.linalg.eigvals(X.transpose(0, 1, 2) @ X @ np.outer(w1, w1))
w2 = np.random.randn(d)
for i in range(100):
w2 = X.transpose(0, 1, 2) @ X @ w2
w2 = w2 - np.dot(w2, w1) * w1
w2 = w2 / np.linalg.norm(w2)
# 计算第二主成分变量
z2 = np.sum(X @ np.outer(w2, w2), axis=(1, 2))
```
其中,`n`是观测样本数,`p`是每个观测样本的维数,`d`是特征向量的维数。首先生成观测样本矩阵`X`,然后计算第一主成分的特征向量`w1`和特征值`v1`,接着计算第二主成分的权重向量`w2`。在计算`w2`时,需要用到前面计算得到的`w1`,将`w2`投影到与`w1`垂直的空间中,最终得到第二主成分变量`z2`。