已知一个（6，3）线性分组码的生成矩阵为G=[1 1 1 0 1 0；1 1 0 0 0 1；0 1 1 1 0 1],求出该码的全部码字，并列出信息组与码字的映射关系；接着将该码系统化处理，并计算系统码码集、列出映射关系；最后计算系统码的校验矩阵H，并判断若收码r=[1 0 0 1 1 0]，检验它是否为码字。

好的，我会根据你的问题来回答，首先是第一个问题：

根据生成矩阵G，该码的全部码字可以通过G的所有线性组合来得到。因此，我们可以列出所有可能的3位信息组，并用G乘以每个信息组以得到对应的码字。具体步骤如下：

1. 列出所有可能的3位信息组：000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111
2. 用G乘以每个信息组：
- G x 000 = [0 0 0 0 0 0]
- G x 001 = [1 1 1 0 1 0]
- G x 010 = [1 1 0 0 0 1]
- G x 011 = [0 1 1 1 0 1]
- G x 100 = [1 0 0 1 1 0]
- G x 101 = [0 0 1 1 1 1]
- G x 110 = [0 0 0 1 0 1]
- G x 111 = [1 0 1 0 0 0]

因此，该码的全部码字为：
[0 0 0 0 0 0]
[1 1 1 0 1 0]
[1 1 0 0 0 1]
[0 1 1 1 0 1]
[1 0 0 1 1 0]
[0 0 1 1 1 1]
[0 0 0 1 0 1]
[1 0 1 0 0 0]

接下来是信息组与码字的映射关系：

信息组 码字
000 000000
001 111010
010 110001
011 011101
100 100110
101 001111
110 000101
111 101000

现在我们对该码进行系统化处理。系统码的生成矩阵为[G|I]，其中I是3x3的单位矩阵，表示在原来的生成矩阵的基础上增加了3个校验位。对于系统码，信息位和校验位的数量应该满足n-k=3，即信息位为3，校验位为3。因此，我们需要将原来的生成矩阵进行扩展，使其满足这个条件。具体步骤如下：

1. 将G的第1、2、3列与第4、5、6列交换，得到新的矩阵G'：
G' = [1 0 1 1 1 0;
0 0 1 1 0 1;
1 1 0 0 0 1]
2. 构造3x3的单位矩阵I：
I = [1 0 0;
0 1 0;
0 0 1]
3. 将G'和I拼接在一起，得到系统码的生成矩阵：
[G'|I] = [1 0 1 1 1 0 1 0 0;
0 0 1 1 0 1 0 1 0;
1 1 0 0 0 1 0 0 1]

现在我们来计算系统码的码集和信息组与码字的映射关系。

系统码的码集可以通过将生成矩阵的所有线性组合得到。具体步骤如下：

1. 枚举所有可能的3位信息组，得到信息矩阵M：
M = [000;
001;
010;
011;
100;
101;
110;
111]
2. 用[G'|I]乘以M，得到系统码的码字矩阵C：
C = [1 0 1 1 1 0 1 0 0;
0 0 1 1 0 1 0 1 0;
1 1 0 0 0 1 0 0 1] x
[000;
001;
010;
011;
100;
101;
110;
111]
= [000000;
111010;
110001;
011101;
100110;
001111;
000101;
101000]

因此，系统码的码集为：
000000
111010
110001
011101
100110
001111
000101
101000

接下来是信息组与码字的映射关系：

信息组 码字
000 000000
001 111010
010 110001
011 011101
100 100110
101 001111
110 000101
111 101000

最后是计算系统码的校验矩阵H，并判断收到的码字r=[1 0 0 1 1 0]是否为码字。

校验矩阵H可以通过系统码的生成矩阵的转置得到。具体步骤如下：

1. 计算[G'|I]的转置：
[G'|I]' = [1 0 1;
0 0 1;
1 1 0;
1 1 0;
1 0 0;
0 1 1;
1 0 1;
0 1 0;
0 0 1]
2. 取[G'|I]'的后3行，得到校验矩阵H：
H = [1 1 0;
0 1 1;
1 0 1]

现在我们来检验收到的码字r是否为码字。首先，我们需要将r表示成系统码的形式，也就是将r拼接上3个0得到一个6位的码字。然后，我们用H乘以r的转置，得到一个3位的向量z。如果z的所有元素都为0，则r是码字，否则r不是码字。具体步骤如下：

1. 将r拼接上3个0，得到码字c：
c = [1 0 0 1 1 0 0 0 0]
2. 计算校验向量z：
z = H x c' = [1 1 0;
0 1 1;
1 0 1] x
[1;
0;
0;
1;
1;
0;
0;
0;
0]
= [1;
1;
0]
3. 判断z是否全为0，发现z的第3个元素为0，因此r不是码字。

综上所述，收到的码字r=[1 0 0 1 1 0]不是该码的码字。