利用DFT的性质和FFT，编写MATLAB程序，计算下列序列的循环卷积（1）g[k]={1,-3,4,2,0,-2},h[k]={3,0,1,-1,2,1} (2)x[k]=cos(πk/2),y[k]=3^k,k=0,1,2,3,4,5

在MATLAB中，我们可以利用离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）来计算两个序列的循环卷积。这是因为卷积在频域上相当于点乘运算，而FFT正是处理这种运算的理想工具。

首先，我们需要明确一点，循环卷积实际上是普通卷积的结果，但是在结果中将序列围绕起来形成一个新的长度等于两者之和减一的新序列。

以下是步骤：

1. 对于给定的序列g[k]和h[k]，我们首先分别计算它们的DFT：

   G = fft(g);
   H = fft(h);

2. 然后对这两个DFT进行点乘（即元素级相乘），得到频域表示的卷积：

   Conv = G .* conj(H);

`conj(H)`是对H取复共轭，因为在实数序列卷积中，这等效于时间反转。

3. 接着计算逆快傅立叶变换（IFFT）以恢复原始序列的循环卷积：

   CyclicConv = ifft(Conv);

对于序列x[k]和y[k]，同样先计算各自DFT，然后用上述方法计算它们的循环卷积。由于这两个序列是周期性的，可以直接进行卷积操作，不需要循环。

对于序列x[k] = cos(πk/2) 和 y[k] = 3^k，它们的DFT可能会更复杂，因为一个是余弦函数，另一个是非线性指数序列。但是基本的步骤仍然是同样的。

下面是一个示例MATLAB代码片段来计算这两个序列的循环卷积：

% 定义序列
g = [1, -3, 4, 2, 0, -2];
h = [3, 0, 1, -1, 2, 1];

% 计算DFT
G = fft(g);
H = fft(h);

% 循环卷积
Conv = G .* conj(H);
CyclicConv = ifft(Conv);

% 对第二个序列，直接卷积即可（因为它已经是周期序列）
x = cos(pi*(0:5)/2); % 注意这里的索引从0开始
y = powers_of_three = 3.^(0:5); % 3^k
yc = conv(x, y); % 直接卷积

% 结果显示
disp('循环卷积:');
disp(CyclicConv);
disp('非循环卷积:');
disp(yc);

注意：这段代码假设`powers_of_three`函数已定义，`powers_of_three = 3.^(0:5)`是用来生成3的幂次数组。