y = k0 * (rho * cos(theta) - rho0) + false_northing;

时间: 2023-12-06 16:42:34 浏览: 157

Pollard-Rho算法详解

### Pollard-Rho算法详解 #### 一、历史与背景 Pollard's Rho算法是一种用于整数因子分解的有效算法，由John M. Pollard在1975年提出，并首次发表于论文《A Monte Carlo method for factorization》中\[1\]。此算法虽然不是最快速的方法之一，但相较于简单的试除法，它的效率要高得多。其基本原理源自于一种巧妙的思想——生日悖论，这种思想同样可应用于多种场景中。 1980年，Richard Brent在其论文中对Pollard-Rho算法进行了改进\[2\]，进一步提升了该算法的性能。如今，Pollard's Rho算法已成为解决大整数分解问题的一个经典案例。 #### 二、问题的设置假设有一个合数\( N \)，它可以表示为\( p \times q \)，其中\( p \neq q \)。我们的目标是找到\( N \)的一个非平凡因子\( p \)或\( q \)（另一个因子可通过\( N \)除以已找到的因子获得）。通常，我们可以采用试除法来尝试分解\( N \)，但这种方法效率低下。 #### 三、试除法的局限性及改进试除法的基本思路是从2开始，逐个检查数字是否为\( N \)的因子。对于一个较大的\( N \)，这种方法不仅耗时，而且成功率极低。为了提高效率，我们可以考虑使用更加随机化的方法，如“I am feeling lucky”算法，该算法随机选择一个介于2到\( N \)之间的数字并检查其是否为因子。然而，这种方法的成功率同样很低，仅为\( \frac{2}{N-1} \)。 #### 四、通过生日悖论提高概率：Birthday Trick 生日悖论提供了一种提高找到特定数字组合概率的方法。例如，在[1, 1000]范围内随机选取两个数\( i \)和\( j \)，使得\( i-j = 42 \)（\( i \neq j \)），其概率大约为\( \frac{1}{500} \)。随着选择的数字数量增加，找到满足条件的数字组合的概率也会相应提高。 #### 五、利用生日悖论进行因子分解在Pollard-Rho算法中，生日悖论的应用在于寻找两个不同的随机数，它们的模运算结果相同。假设有一个函数\( f(x) \)，从\( \mathbb{Z}_N \)映射到自身，那么我们可以随机选择两个起始值\( x_1 \)和\( x_2 \)，并迭代计算\( x_{n+1} = f(x_n) \)。当\( x_1 \)和\( x_2 \)的序列开始重复时，即出现循环（称为“环”），则说明存在一个非平凡因子。 #### 六、Pollard's Rho算法 **算法步骤：** 1. **初始化：** - 选择一个合适的函数\( f(x) \)； - 设置起始值\( x = y = 2 \)； - 设置步长\( d = 1 \)。 2. **迭代：** - 计算新的\( x = f(x) \)； - 计算新的\( y = f(f(y)) \)； - 更新\( d = gcd(|x-y|, N) \)。 3. **检查：** - 如果\( d > 1 \)且\( d < N \)，则找到非平凡因子； - 如果\( d = 1 \)，则继续迭代； - 如果\( d = N \)，则重置\( x = y \)并改变\( f(x) \)的起始值或函数定义。 4. **重复：** - 直至找到非平凡因子。 #### 七、结论 Pollard-Rho算法是一种有效且有趣的整数因子分解方法。尽管它不是最快的算法，但相较于试除法等传统方法，其效率大大提高。通过对生日悖论的应用，该算法能够有效地在较短时间内找到大整数的因子，从而在密码学等领域有着广泛的应用前景。 ### 参考文献 \[1\] Pollard, J. M. (1975). “A Monte Carlo method for factorization”. BIT Numerical Mathematics, 15(3), 331-334. \[2\] Brent, R. P. (1980). “An Improved Monte Carlo Factorization Algorithm”. BIT, 20, 176–184, doi:10.1007/BF01933190.

这是一个数学公式，其中包含一些变量和常数。可以将其解释为： - y：某个坐标系中的纵坐标值 - k0：比例因子，用于将实际距离映射到坐标系中的距离 - rho：极坐标系中的径向距离 - theta：极坐标系中的角度值 - rho0：坐标系中的参考距离 - false_northing：用于纵坐标的偏移量，通常为负数这个公式通常用于将极坐标系中的点转换为某个指定坐标系中的点。具体来说，它将极坐标系中的点转换为一个平面直角坐标系中的点，其中 y 值被偏移了 false_northing。

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y = k0 * (rho * cos(theta) - rho0) + false_northing;

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f3 = @( Theta_1 ) abs(( a.^2 )( Theta_1.^2 ) - ( 2a*Rho_0 ) * Theta_1 * cos( Theta_1 - Theta_0 ) + Rho_0.^2 - d_1.^2 ) ; 帮我写一段代码，解出f3==0时的解

优化其中的for line in lines: rho, theta = line[0] a = np.cos(theta) b = np.sin(theta) x0 = a * rho y0 = b * rho x1 = int(x0 + 1000 * (-b)) y1 = int(y0 + 1000 * (a)) x2 = int(x0 - 1000 * (-b)) y2 = int(y0 - 1000 * (a))

# 绘制直线 if lines is not None and len(lines) > 0: for line in lines: rho, theta = line[0] a = np.cos(theta) b = np.sin(theta) x0 = a * rho y0 = b * rho x1 = int(x0 + 1000 * (-b)) y1 = int(y0 + 1000 * (a)) x2 = int(x0 - 1000 * (-b)) y2 = int(y0 - 1000 * (a))什么意思每排

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V_i=V*{1-exp[-ϵ(t)/ϵ_0]^m,对其求导，随后对求导结果在0-t积分（给出通过MATLAB积分后的结果仅进行公示推导不需要给出精确解），ϵ(t)=（rho_w/rho_I-1）×theta_S×（S_0-at^2+bt=c）其中除t以外均为常数

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