n维正态分布概率密度
时间: 2023-12-13 18:04:32 浏览: 38
n维正态分布是指在n维空间中,每个维度上的随机变量都服从正态分布的一种多元随机变量分布。其概率密度函数为:
f(x) = (2π)^(-n/2) * det(Σ)^(-1/2) * exp(-1/2 * (x-μ)^T * Σ^(-1) * (x-μ))
其中,x是一个n维向量,μ是一个n维向量,表示分布的均值向量,Σ是一个n×n的协方差矩阵,det(Σ)表示Σ的行列式。
相关问题
二维正态分布边缘概率推导过程
假设 $X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$,$Y\sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$ 且 $X$ 和 $Y$ 之间的相关系数为 $\rho$,那么二维正态分布的密度函数可以写作:
$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-2\rho\frac{(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right]\right\}$$
对于边缘概率,我们只需要将另一个变量积分掉即可,例如对 $X$ 进行积分得到 $Y$ 的边缘概率:
$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}-\frac{\rho^2}{\sigma_x^2}(y-\mu_y)^2\right]\right\}$$
化简可得:
$$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{(y-\mu_y)^2}{2\sigma_y^2(1-\rho^2)}\right\}$$
这就是 $Y$ 的边缘概率密度函数,可以看出它是一个均值为 $\mu_y$,标准差为 $\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}$ 的正态分布。类似地,对 $Y$ 进行积分得到 $X$ 的边缘概率密度函数,也是一个均值为 $\mu_x$,标准差为 $\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}$ 的正态分布。
matlab表示多元正态分布的概率密度分布
在MATLAB中,可以使用 `mvnpdf` 函数来表示多元正态分布的概率密度分布。该函数的语法如下:
```
p = mvnpdf(X, mu, Sigma)
```
其中,`X` 是一个 n 行 d 列的矩阵,表示 d 维随机变量的取值;`mu` 是一个 1 行 d 列的矩阵,表示 d 维随机变量的均值向量;`Sigma` 是一个 d 行 d 列的协方差矩阵。
该函数返回一个 n 行 1 列的向量 `p`,表示 `X` 矩阵中每一行对应的多元正态分布的概率密度值。
例如,假设我们要表示一个二维正态分布的概率密度分布,其均值向量为 `[0, 0]`,协方差矩阵为
```
[1, 0.5]
[0.5, 2]
```
我们可以使用以下代码计算该分布在点 `(1,1)` 处的概率密度值:
```
X = [1, 1];
mu = [0, 0];
Sigma = [1, 0.5; 0.5, 2];
p = mvnpdf(X, mu, Sigma)
```
运行结果为:
```
p = 0.0520
```
表示该二维正态分布在点 `(1,1)` 处的概率密度值为 0.0520。