最大连续子数组 动态规划

### 解决最大连续子数组问题的动态规划算法

#### 定义与背景
最大连续子数组问题是寻找给定整数数组中的具有最大和的连续子数组。此问题可以通过多种方式求解，而采用动态规划的方法能够有效地降低时间复杂度至线性级别O(n)[^1]。

#### 状态转移方程
为了应用动态规划来解决问题，定义`dp[i]`表示以第i个位置结束的最大连续子数组之和，则状态转移方程如下：

\[ dp[i] = \begin{cases}
nums[i],&\text{if}\ i=0 \\
max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]),&\text{otherwise}
\end{cases} \]

这里的关键在于理解如果前一项加上当前项能带来更大的总和就继续累加；反之则重新开始一个新的子序列[^2]。

#### 边界条件
初始化时设置第一个元素作为初始的最大值即`res=nums[0]`，因为至少要包含一个元素形成子数组[^4]。

#### Python代码实现
下面是基于上述思路编写的Python版本解决方案：

def max_subarray_sum(nums):
    if not nums:
        return 0
    
    current_max = global_max = nums[0]
    
    for num in nums[1:]:
        current_max = max(num, current_max + num)
        if current_max > global_max:
            global_max = current_max
            
    return global_max

这段代码实现了对输入列表`nums`遍历的同时维护两个变量：一个是记录到目前为止所见的最佳结果(`global_max`)，另一个是在考虑当前位置之前所能获得的最大累积和(`current_max`)。每当访问新元素时都会决定是否将其加入现有路径或是开启一条新的路径，并相应调整这两个变量之一或两者皆调[^3]。