支持向量机中的算法理论推导

支持向量机（SVM，Support Vector Machine）是一种监督学习模型，特别适合于分类和回归分析。其核心思想是找到最优超平面，这个超平面可以最大化样本点到它两边的距离，也就是所谓的间隔（Margin）。对于线性不可分的数据，SVM通过核函数将数据映射到高维空间，在那里寻找一个能够最好分开两类数据的超平面。

SVM的具体算法理论推导涉及以下几个关键步骤：

1. **优化问题**: SVM的目标函数通常是最大化间隔，即找到使得分类错误最少的支持向量（Margin），同时最小化模型的复杂度。数学上表现为求解一个凸二次规划问题：
\[ \min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2}\|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_i \xi_i \]
其中，$\mathbf{w}$是权重向量，$b$是偏置，$\xi_i$是松弛变量（允许一些样本点落在错误的一边），$C$是惩罚系数控制过拟合。

2. **拉格朗日乘数法**: 为了求解这个问题，通常会引入拉格朗日乘数$\alpha_i$，然后转化为拉格朗日函数的极值问题。通过KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions），我们得到对偶问题，这是一个更简单的形式：
\[ \max_{\boldsymbol{\alpha}} \quad \sum_i \alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i,j} y_i y_j \alpha_i \alpha_j K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) \]
这里$K(\cdot, \cdot)$是内积在特征空间的表示，也称为核函数。

3. **最大间隔分类**: 最终，决策边界由$\mathbf{w}$给出，可以用以下公式表示：
\[ f(\mathbf{x}) = sign(\sum_i \alpha_i y_i K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}) + b) \]

4. **核技巧（Kernel Trick）**: 当数据非线性可分时，SVM可以通过选择适当的核函数（如线性、多项式、径向基函数RBF等）避免显式地计算高维特征，简化计算。