详细描述一下支持向量机决策函数的推导过程

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，用于分类和回归问题。其决策函数的推导过程如下：

1. 假设我们有一个训练数据集，其中包含一些已知的样本点和它们对应的标签。我们的目标是找到一个决策函数，可以将新的样本点正确地分类。

2. SVM的决策函数是基于特征空间中的超平面的。对于二分类问题，我们希望找到一个超平面，可以将两个不同类别的样本点分开。

3. SVM的决策函数可以表示为：f(x) = sign(w·x + b)，其中x是输入样本的特征向量，w是超平面的法向量，b是超平面的偏置项。

4. SVM的目标是找到一个最优的超平面，使得所有样本点到超平面的距离最大化。这个距离被称为间隔（margin）。

5. 为了求解最优超平面，我们需要解决一个优化问题。这个问题可以转化为一个凸二次规划问题，可以使用拉格朗日乘子法来求解。

6. 通过求解优化问题，我们可以得到一组拉格朗日乘子α，它们对应于训练数据集中的每个样本点。

7. 根据KKT条件，只有一部分样本点对应的拉格朗日乘子α不为0，这些样本点被称为支持向量。它们位于间隔边界上，决定了超平面的位置。

8. 最终，我们可以通过计算支持向量的权重向量w和偏置项b来得到决策函数。

以上是支持向量机决策函数的推导过程。

相关问题

支持向量机目标函数推导

### 支持向量机目标函数的数学推导

支持向量机（SVM）的目标是在特征空间中找到一个最优超平面，使得不同类别的样本能够被尽可能宽的间隔分隔开。为了实现这一目标，定义了一个优化问题来最大化这个间隔。

#### 定义决策边界和几何间隔

对于线性可分的数据集，假设存在一个超平面 \( w \cdot x + b = 0 \)，其中 \( w \) 是法向量，\( b \) 是偏置项。给定训练数据 \( (x_i, y_i), i=1,\ldots,n \)，其中 \( y_i \in \{-1,+1\} \)，则分类条件可以表示为：

\[ y_i(w \cdot x_i + b) \geqslant 1 \]

这里引入了松弛变量 \( \xi_i \geqslant 0 \)，允许某些点位于错误的一侧或靠近分割面，从而扩展到非完全线性可分的情况[^2]。

#### 构建原始优化问题

考虑到上述不等式约束以及希望最小化权重向量 \( ||w|| \) 的长度以获得最大间隔，构建如下带惩罚项的最优化模型：

\[ \min_{w,b}\frac{1}{2} \|w\|^2+C\sum^n_{i=1}\xi_i \]
\[ s.t.\quad y_i[w^Tx_i+b]\geq1-\xi_i ,\forall i; \xi_i\geq0 \]

这里的参数 C 控制着对误分类误差的关注程度与寻找较大边缘之间的平衡关系。

#### 转换为拉格朗日对偶形式

通过引入拉格朗日乘子方法求解此凸二次规划问题，得到其对应的Lagrangian表达式，并进一步转化为对偶问题:

\[ L_P=\frac{1}{2}\|w\|^2-C\sum^n_{i=1}\xi_i+\sum^n_{i=1}\alpha_i[y_i(w^Tx_i+b)-1+\xi_i]-\sum^n_{i=1}\mu_i\xi_i \]

最终简化后的对偶问题是关于α的最大化问题，在满足KKT条件下解决原问题中的极小极大值问题:

\[ \max_\alpha W(\alpha)=\sum^n_{i=1}\alpha_i-\frac{1}{2}\sum^n_{i,j=1}y^{(i)}y^{(j)}\alpha_i\alpha_j(x^{(i)})^Tx^{(j)} \]
\[ s.t.\quad 0\leq\alpha_i\leq C;\sum^n_{i=1}\alpha_iy_i=0 \]

这种转换不仅使计算变得更为高效，而且也便于处理高维甚至无限维度的空间映射情况下的核技巧应用。

from cvxopt import matrix, solvers

def svm_dual(Q, p, G=None, h=None, A=None, b=None):
    Q = matrix(Q)
    p = matrix(p)

    if G is not None and h is not None:
        G = matrix(G)
        h = matrix(h)
    
    if A is not None and b is not None:
        A = matrix(A).trans()
        b = matrix(b)

    solution = solvers.qp(Q, p, G, h, A, b)['x']
    return list(solution)

支持向量机 简单推导

支持向量机是一种二分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，可以通过求解凸二次规划问题来实现。下面是简单的推导过程：

假设训练数据集为$T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)}$，其中$x_i∈R^n$为特征向量，$y_i∈{-1,1}$为类别标记。线性可分支持向量机的基本模型为：

$$
f(x)=w^Tx+b
$$

其中，$w$为权值向量，$b$为偏置，$w$和$b$确定了分离超平面。对于输入空间中的任意点$x$，判定其类别的函数为：

$$
\operatorname{sign}(f(x))
$$

为了使得分类器能够正确分类训练数据集中的所有样本，需要满足以下约束条件：

$$
\begin{cases}
w^Tx_i+b\geq1, & y_i=1 \\
w^Tx_i+b\leq-1, & y_i=-1
\end{cases}
$$

即对于正样本，其函数间隔$w^Tx_i+b$应大于等于1；对于负样本，其函数间隔$w^Tx_i+b$应小于等于-1。将上述约束条件转化为：

$$
y_i(w^Tx_i+b)\geq1, i=1,2,...,N
$$

为了使得间隔最大化，需要最小化$w$的平方范数，即：

$$
\frac{1}{2}||w||^2
$$

于是，线性可分支持向量机的优化问题可以表示为：

$$
\min_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2 \\
s.t. \quad y_i(w^Tx_i+b)\geq1, i=1,2,...,N
$$

这是一个凸二次规划问题，可以通过拉格朗日乘子法求解。最终得到的决策函数为：

$$
f(x)=\operatorname{sign}(\sum_{i=1}^N\alpha_iy_ix_i^Tx+b)
$$

其中，$\alpha_i$为拉格朗日乘子，满足$\alpha_i\geq0$，且$\sum_{i=1}^N\alpha_iy_i=0$。对于训练数据集中的样本点，若其对应的$\alpha_i>0$，则称其为支持向量。