支持向量回归公式推导
时间: 2024-08-15 13:05:17 浏览: 33
支持向量回归 (Support Vector Regression, SVR) 是支持向量机家族的一种变体,用于处理连续数值预测问题。SVR 的目标是在训练数据集上找到一条最优拟合线(对于回归任务而言),同时保持对新输入有良好泛化能力。
### 支持向量回归的目标函数
支持向量回归试图最小化以下损失函数:
\[
\min_{w,b,\xi} \left( C \sum_{i=1}^{n} \xi_i + \frac{1}{2} || w||^2 \right)
\]
其中,
- \( w \) 和 \( b \) 分别表示决策边界的方向矢量和偏置项。
- \( \xi_i \) 表示每个样本点到决策边界的距离的惩罚值。
- \( n \) 表示总样本数。
- \( C \) 是正则化参数,控制模型复杂度和过拟合的程度。
### 拟合误差与核技巧
SVR 使用最大边缘策略,允许一些错误预测,即容忍一定程度的偏离。这通过引入误差项 \( \epsilon \) 来实现:
\[
y_i - f(x_i) \leq \epsilon + \xi_i \\
f(x_i) - y_i \leq \epsilon + \zeta_i
\]
其中,\( f(x_i) = w \cdot x_i + b \) 是决策函数。\( \xi_i \) 和 \( \zeta_i \) 是松弛变量,用于表示偏离 \( \epsilon \) 的程度。
为了将非线性问题转化为线性问题,通常会应用高斯核(径向基函数)等核技巧,将原始特征空间映射到更高维的空间,在这个新空间中求解线性问题:
\[
K(x_i, x_j) = \phi(x_i)^T \phi(x_j)
\]
其中,\( K(x_i, x_j) \) 是两个样本之间的内积,而 \( \phi(x) \) 是特征映射函数。
### 最大边缘条件
优化过程的目标是在满足约束条件的同时最小化 \( w \) 和 \( b \),以及 \( \xi_i \) 和 \( \zeta_i \) 的值。约束条件基于 \( \epsilon \)-范围内的预测误差,这意味着 SVR 只会在误差超出 \( \epsilon \) 范围的情况下增加成本。
最终,通过拉格朗日乘法解决这一优化问题,可以得到支持向量和它们对应的拉格朗日乘子。这些信息可用于构建预测模型并计算新的输入数据的预测结果。
---
###
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)