递推极大似然估计算法公式推导

递推极大似然（Recursive Maximum Likelihood, RML）算法通常用于时间序列模型中，比如 Hidden Markov Model (HMM) 或者自回归模型等，目的是在线或增量地估计模型参数，而不是一次性处理所有数据。它的核心思想是根据已知观测值更新参数，使得当前观测数据的概率最大。

对于基于概率分布的模型，例如高斯混合模型 (GMM)，假设我们有一个参数向量 Θ 和观测序列 {x_1, x_2, ..., x_t}，RML的公式推导通常涉及对数似然函数 L(Θ | x_{1:t})。对于单步的递推过程，我们可以假设观察到 x_t 后，参数的更新可以用以下形式：

\[
\Theta_{t+1} = \arg\max_\Theta \log p(x_t | \Theta) + \beta \log p(\Theta | \Theta_t)
\]

这里，第一部分是当前观测的似然，第二部分是一个平滑因子 β（0 < β < 1），用来平衡新信息和历史信息的重要性。优化这个目标函数后，我们得到新的参数估计 Θ_{t+1}。

具体来说，这可能涉及到梯度上升或其他优化方法来找到使对数似然最大的参数值。如果模型有递归性质（如HMM中的前一状态影响当前状态），则可能会用维特比算法 (Viterbi algorithm) 来简化计算。

相关问题

最小二乘法最大似然估计矩阵

最小二乘法和最大似然估计是统计学中常用的参数估计方法。最小二乘法是通过最小化误差平方和来找到合适的参数，使得预测值与真实值之间的误差最小。具体而言，最小二乘法可以分为不需要矩阵求逆的最小二乘法、递推最小二乘法、辅助变量法和广义最小二乘法等方法。其中辅助变量法又包括一次辅助变量法和递推辅助变量法，广义最小二乘法又包括一次广义最小二乘法和递推广义最小二乘法等方法。

最大似然估计是另一种常用的参数估计方法，它的出发点是找到合适的参数，使得观测到的样本数据在该参数下出现的概率最大。具体而言，最大似然估计利用样本数据的概率分布函数来估计参数，使得观测到的样本数据出现的概率最大化。

在最小二乘法中，如果矩阵XTX非奇异，即可得到唯一解w=(XTX)−1XTY，其中X和Y分别代表样本数据的特征矩阵和目标值矩阵。

综上所述，最小二乘法和最大似然估计是两种不同的参数估计方法，它们在统计学和机器学习中都有广泛的应用。最小二乘法通过最小化误差平方和来找到合适的参数，最大似然估计则通过最大化样本数据出现的概率来估计参数。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* [包括多种最小二乘法，极大似然法，模型阶数辨识等_最大似然估计的系统辨识程序,增广矩阵法实现系统辨识](https://download.csdn.net/download/qq_41934573/19977394)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* *3* [最小二乘法与极大似然估计](https://blog.csdn.net/luxurie/article/details/125528075)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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推导指数加权递推最小二乘算法

推导指数加权递推最小二乘算法（Exponentially Weighted Recursive Least Squares，简称EWRLS算法）是一种递推最小二乘滤波算法，主要用于信号处理和系统辨识等领域。它是对传统的递推最小二乘算法的一种改进和优化，能够更好地处理非平稳信号和突变信号的情况。

该算法的基本思想是：通过指数加权的方式来更新参数估计值，使得较新的数据更有利于参数的估计，而较旧的数据则逐渐衰减。具体来说，EWRLS算法在每次更新参数时，对历史数据进行指数加权平均，将其加权系数作为更新参数时的先验信息，并且通过递推方式将其与当前测量值进行最小二乘优化，得到更新后的参数估计值。