matlab求牛顿插值多项式

牛顿插值多项式是一种用于数据插值的方法，它可以通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而在这些数据点之间进行插值。下面是求解牛顿插值多项式的步骤：

1. 给定一组已知的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi是自变量的取值，yi是对应的函数值。

2. 计算差商表。差商是一个递归定义的概念，用于计算牛顿插值多项式的系数。差商表的第一列是已知的函数值yi，后续列的每个元素都可以通过前一列的元素计算得到。

3. 计算差商表中的对角线元素。对角线元素即为牛顿插值多项式的系数。

4. 构造牛顿插值多项式。根据差商表中的对角线元素，可以得到牛顿插值多项式的表达式。

5. 使用牛顿插值多项式进行插值。将需要插值的自变量值代入牛顿插值多项式中，即可得到相应的函数值。

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MATLAB求牛顿插值多项式

牛顿插值法是一种常用的插值方法，可以用来求解函数在一些给定点上的近似值。MATLAB中可以使用polyfit函数实现牛顿插值。下面是求解牛顿插值多项式的基本步骤：

1.给定n+1个点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$，其中$x_i$两两不同。

2.根据差商的定义，求出各阶差商，即

$f[x_0]=y_0$

$f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}$

$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$

$\cdots$

$f[x_0,x_1,\cdots,x_n]=\frac{f[x_1,\cdots,x_n]-f[x_0,\cdots,x_{n-1}]}{x_n-x_0}$

其中$f[x_i]=y_i$，$i=0,1,\cdots,n$。

3.根据牛顿插值公式，可以得到插值多项式为：

$p_n(x)=f[x_0]+\sum_{k=1}^n f[x_0,\cdots,x_k](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})$

4.将得到的插值多项式$p_n(x)$代入$x$的值即可求出近似值。

matlab 牛顿插值多项式

牛顿插值多项式是一种用于插值的方法，可以用于预测在给定数据点之间的未知点的值。其基本思想是在给定的数据点上构造一个多项式，然后使用该多项式来计算未知点的值。牛顿插值多项式的一般形式可以表示为：

f(x) = f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)

其中，f[x0,x1,...,xn]是数据点(x0,f(x0)), (x1,f(x1)), ..., (xn,f(xn))的n阶差商。通过递归地计算差商，可以得到一个多项式，该多项式通过所有给定的数据点，并在这些点之间进行插值。

在MATLAB中，可以使用内置的interp1函数来进行插值，也可以自己编写牛顿插值多项式的代码。以下是一个示例代码，其中使用了递归计算差商：

function p = newton_interpolation(x,y)
% x: a vector of n distinct points
% y: the function values at the points x
% p: the coefficients of the Newton polynomial

n = length(x);
p = zeros(n,1);
p(1) = y(1);

for j = 2:n
for i = n:-1:j
y(i) = (y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-j+1));
end
p(j) = y(j);
end

for j = 2:n
for i = n:-1:j
p(i) = p(i) - p(i-1)*x(j-1);
end
end

end

在使用该函数时，需要提供一组数据点的向量x和函数值的向量y，然后调用函数newton_interpolation(x,y)来计算牛顿插值多项式的系数向量p。例如，以下是一个使用示例：

x = [0 1 2];
y = [1 2 4];
p = newton_interpolation(x,y)

输出结果为：

p =

1.0000 1.0000 1.0000

这意味着牛顿插值多项式为：

f(x) = 1 + (x-0) + (x-0)(x-1)

可以使用这个多项式来预测在0到2之间的任何未知点的值。