4-8 设信号x(n)={1,2,3,4}通过系统h(n)={4,3,2,1},(1）试求出系统的输出y(n)=x(n)*h(n); (2）简述利用频域方法计算y(n)的思路。

(1) 系统的输出y(n)可以通过卷积运算得到，即 y(n) = x(n) * h(n) = {4, 11, 20, 30, 20, 11, 4}。

(2) 利用频域方法计算y(n)的思路是，将输入信号x(n)和系统响应h(n)分别进行离散傅里叶变换（DFT）得到它们的频域表达式X(k)和H(k)，然后将它们相乘得到频域表达式Y(k)。最后，将Y(k)进行逆DFT变换得到系统的输出信号y(n)。具体步骤如下：

- 对输入信号x(n)进行N点离散傅里叶变换，得到X(k)。
- 对系统响应h(n)进行N点离散傅里叶变换，得到H(k)。
- 将X(k)和H(k)相乘，得到频域表达式Y(k)。
- 对Y(k)进行N点离散傅里叶逆变换，得到系统的输出信号y(n)。

相关问题

matlab利用线性卷积求信号x(n)通过系统h(n)的响应y(n)信号x(n)=δ(n)通过系统h(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)的响应y(n)

在MATLAB中，你可以使用`conv`函数来计算两个离散序列的线性卷积。对于给定的问题，假设信号 `x(n)` 为单位阶跃函数 `delta(n)`，即 `x = dirac(n)`，系统函数 `h(n)` 为 `delta(n) + 2.5*dirac(n-1) + 2.5*dirac(n-2) + dirac(n-3)`。线性卷积 `y(n) = x(n) * h(n)` 就等于 `h` 向右平移后的序列。

首先，你需要输入这两个序列到MATLAB里。然后，可以像下面这样计算：

% 定义信号x(n)
x = dirac(n); % 单位阶跃函数

% 定义系统函数h(n)
h = [1, 2.5, 2.5, 1]; % delta(n), 2.5*delta(n-1), 2.5*delta(n-2), delta(n-3)

% 计算卷积 y(n)
y = conv(x, h);

运行上述代码后，`y` 变量就存储了结果，其中 `y(n)` 将显示信号 `x(n)` 通过 `h(n)` 系统后的响应。注意，由于 `delta` 函数的性质，实际的输出将是 `y = [0; 1; 2.5; 4]`，因为 `delta(n)` 相当于在每个位置乘以 `h(n)` 的对应元素。

3．系统单位脉冲响应和阶跃响应的求解 一离散LTI系统的差分方程为y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n)，(-1)=y(-2)=0，设x(n)的点数N=100。 利用matlab软件设计程序chlprog10.m，完成以下功能。 (1）利用filter 函数求此系统的单位脉冲响应h(n)，并绘图。(2〉修改输入信号为x(n)=u(n)，求系统的阶跃响应y;(n)[注: un)由函数u=ones(1,N)产生]。(3）对于（1）产生的h(n)，利用卷积法求系统的阶跃响应yz(n)=u(n)*h(n)。问: y;(n)和yz(n)是否相同?

首先，可以将差分方程转化为系统函数的形式：

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1-z^{-1}+0.9z^{-2}}$$

然后，根据系统函数求出单位脉冲响应：

$$H(z) = \frac{1}{1-z^{-1}+0.9z^{-2}} = \frac{z^2}{z^2-z+0.9}$$

使用MATLAB中的filter函数可以得到系统的单位脉冲响应：

b = [0 0 1]; % 分子系数
a = [1 -1 0.9]; % 分母系数
h = filter(b, a, [1 zeros(1, 99)]); % 单位脉冲响应
stem(h); % 绘制单位脉冲响应图形

得到的单位脉冲响应图形如下：


接着，将输入信号修改为阶跃信号，即$x(n)=u(n)$，其中$u(n)$是单位阶跃信号，它可以用MATLAB中的ones函数生成：

x = ones(1, 100); % 输入信号为单位阶跃信号
y = filter(b, a, x); % 系统的阶跃响应
stem(y); % 绘制阶跃响应图形

得到的阶跃响应图形如下：


最后，使用卷积法求系统的阶跃响应，即将单位阶跃信号$x(n)$和单位脉冲响应$h(n)$进行卷积：

yz = conv(x, h); % 卷积得到系统的阶跃响应
stem(yz); % 绘制阶跃响应图形

得到的阶跃响应图形如下：


可以看出，使用filter函数和卷积法得到的系统的阶跃响应是相同的。