已知离散时间系统的差分方程为y(n)-2y(n-1)=x(n)，（1）试求其单位样值响应h(n)；(2）若激勋信号为x（n）=u(n)-u(n-3)求系统的零状态响应。

(1) 我们可以将差分方程改写为：

y(n) = 2y(n-1) + x(n)

当输入信号为单位样值序列时，即x(n) = δ(n)，其中δ(n)为单位样值序列，代入差分方程得：

h(n) = 2h(n-1) + δ(n)

由于系统是零状态的，初始时刻没有输入，即y(-1)=y(-2)=...=0，因此h(0)=1，代入差分方程可以递归求解h(n)，得到：

h(n) = 2^n · u(n)

其中u(n)为单位阶跃序列。

(2) 对于零状态响应，我们可以利用卷积定理，即y(n) = x(n) * h(n)，其中*表示卷积运算。输入信号为x(n) = u(n) - u(n-3)，其单位样值响应为h(n) = 2^n · u(n)。

将它们代入卷积公式得到：

y(n) = (u(n) - u(n-3)) * (2^n · u(n))

展开卷积运算得：

y(n) = 2^n · u(n) - 2^{n-3} · u(n-3)

因此，系统的零状态响应为：

y(n) = 2^n · u(n) - 2^{n-3} · u(n-3)

相关问题

用MATLAB实现以下代码 已知离散时间系统差分方程为y(n)-0.5y(n-1)+0.6y(n-2)=x(n)+0.5x(n-1),0≤n≤20. 使用filter函数求解该系统的单位脉冲响应（输入为δ（n））并绘图

在MATLAB中，你可以使用`filter`函数来求解给定的离散时间线性移不变系统（LTI）的单位脉冲响应（也称为系统函数）。首先，你需要将差分方程转换成传递函数的形式，然后利用`filter`函数及其内置的系统函数来计算。

对于这个差分方程：

\[ y(n) - 0.5y(n-1) + 0.6y(n-2) = x(n) + 0.5x(n-2)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & -0.5 & 0.6 \\
0 & 1 & -0.5 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y(n-1) \\
y(n-2) \\
y(n-3)
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
1 \\ 0.5 \\ 0
\end{bmatrix} x(n)
\]

对应的传递函数就是矩阵右上角部分（状态转移矩阵），加上输入向量（增益矩阵）。然而，`filter`函数需要的是零阶保持器（ZOH，Zero Order Hold）版本的传递函数，所以我们需要先将其转换。对于这个简单的例子，由于输入是单位脉冲响应，ZOH不会影响结果，因为我们实际上是在求系统对单位阶跃响应的反应。

假设系统函数H(z)为传递函数矩阵：

\[
H(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1} + 0.6z^{-2}}
\]

接下来，我们编写MATLAB代码来计算和绘制单位脉冲响应：

% 系统函数
sys = tf([1], [1 -0.5 0.6]);

% 输入信号
input_signal = ones(1, 21); % 单位脉冲响应δ(n)

% 使用filter计算响应
[y_response, ~] = filter(sys, input_signal);

% 绘制响应
plot(0:20, y_response);
xlabel('Time (samples)');
ylabel('Response');
title('Unit Impulse Response of the Discrete-Time System');

这段代码会计算出从0到20样本点的单位脉冲响应，并显示对应的图形。

已知离散系统差分方程为y(n)-0.5y(n-1)+0.6y(n-2)=x(n)+0.5x(n-1)，0≤n≤20，使用filter函数求解该系统的单位阶跃响应并绘图

离散时间系统中，给定的差分方程描述了一个线性移不变系统，它可以用状态空间模型或者Z变换表示。对于给定的差分方程 \( y(n) - 0.5y(n-1) + 0.6y(n-2) = x(n) + 0.5x(n-1) \)，我们可以认为它是一个一阶递归滤波器加上一阶延迟滤波器。

在Python中，通常使用`scipy.signal`库的`lfilter`函数来解决这类问题，这个函数能够通过指定滤波器系数计算输入序列经过滤波后的输出。然而，由于`filter`函数需要先将差分方程转换成相应的数字滤波器形式，我们首先需要确定系统函数H(z)，然后利用`zpk2tf`函数将其转化为传递函数（TF）或零极点（ZP）形式，接着才能应用`lfilter`。

这里假设系数0.5和0.6对应的是b和a数组，而1和0.5分别对应d和b数组：

from scipy.signal import zpk2tf, lfilter, impulse, step

# 假设系数已知
b1, a1 = [0.5], [1, -0.5]  # 第一阶递归部分
b2, a2 = [0.6], [1, 0]   # 延迟部分（无反馈）

# 合并滤波器系数
b, a = b1 + b2, a1 + a2

# 系统函数H(z)
num, den = zpk2tf(*zip(b, a))

# 设定单位阶跃信号作为输入
u = [0]*(n+1) + [1]  # 单位阶跃信号，n为给定的最大步长
y = lfilter(num, den, u)

# 绘制阶跃响应
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(range(len(y)), y, label='Response')
plt.xlabel('Time (Sample)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Unit Step Response of the Discrete System')
plt.legend()
plt.show()

请注意，实际操作时需要确保系数的顺序和形状正确，并根据具体的数据范围`range(0, 21)`来调整步长。如果你需要帮助进行具体的数值计算，请提供滤波器系数或进一步的信息。