【例5-4】某LTI系统由下列差分方程描述y(n)-3/2y(n-1)+1/2y(n-2)=x(n),n≥0,若系统的初始条件为y(一1)=4和y(一2)=10,求系统对信号x(n)=(1/2^n)u(n)的响应。用MATLAB代码表示。
时间: 2023-11-18 13:04:54 浏览: 146
根据差分方程,可以得到系统的传递函数为:
H(z) = Y(z) / X(z) = 1 / (1 - 3/2z⁻¹ + 1/2z⁻²)
使用MATLAB代码求解:
% 定义信号x(n)
n = 0:20;
x = (1/2).^n .* (n>=0);
% 定义系统传递函数H(z)
b = [1];
a = [1, -3/2, 1/2];
H = tf(b, a, 1);
% 计算系统的响应
y = filter(b, a, x);
% 绘制信号和系统响应的图像
stem(n, x);
hold on;
stem(n, y);
legend('输入信号', '系统响应');
xlabel('n');
ylabel('幅度');
title('系统对x(n)的响应');
运行以上代码,可得到系统对信号x(n)=(1/2^n)u(n)的响应图像。
相关问题
某因果线性时不变系统(LTI)由下面差分方程描述 y (n) =0.81y(n-2)+x(n) -x(n-2) 试求系统对单位阶跃u(n)的响应v(n)即单位阶跃响应)。用MATLAB代码表示。
根据差分方程,可以列出系统的传递函数:
H(z) = Y(z) / X(z) = 1 / (1 - 0.81z^-2 + z^-4)
对于单位阶跃输入u(n),其z变换为:
U(z) = 1 / (1 - z^-1)
则系统的输出为:
V(z) = H(z) * U(z) = 1 / (1 - 0.81z^-2 + z^-4) * 1 / (1 - z^-1)
将V(z)展开,得到:
V(z) = (0.0191z^3 - 0.0574z^2 + 0.0574z - 0.0191) / (1 - 0.81z^-2 + z^-4)
根据部分分式分解,可以将V(z)表示为:
V(z) = (0.0044 / (z - 0.9) + 0.0047 / (z + 0.9) + 0.005 / (z - 0.3) - 0.0141 / (z + 0.3)) / (1 - 0.81z^-2 + z^-4)
对上式进行z变换逆变换,即可得到系统对单位阶跃的响应v(n),MATLAB代码如下:
```
b = [0.0044, 0.0047, 0, 0.005, 0, 0, -0.0141, 0, 0];
a = [1, 0, 0, -0.81, 0, 0, 1, 0, -1];
n = 0:50;
h = filter(b, a, [1 zeros(1, 50)]);
stem(n, h);
xlabel('n');
ylabel('v(n)');
```
其中,b和a分别是传递函数的分子和分母系数,n为时间序列,h为系统的单位阶跃响应。
某LTI离散系统差分方程为y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=f(k-1)-2f(k-2),求该系统的单位序列响应
该离散系统的差分方程为:
$$
y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=f(k-1)-2f(k-2)
$$
其中,$f(k)$ 为输入信号,$y(k)$ 为输出信号。
我们知道,单位序列的 $z$ 变换为 $\frac{1}{1-z^{-1}}$,因此该系统的传递函数为:
$$
H(z)=\frac{Y(z)}{F(z)}=\frac{z^{-1}-3z^{-2}+2z^{-3}}{1-2z^{-2}}
$$
为了求出系统的单位序列响应,我们需要将传递函数中的输入信号 $F(z)$ 替换成单位序列的 $U(z)$,即:
$$
H(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z^{-1}-3z^{-2}+2z^{-3}}{1-2z^{-2}}
$$
将 $z$ 变换中的 $z^{-1}$ 表示为 $y(k-1)$,$z^{-2}$ 表示为 $y(k-2)$,$z^{-1}$ 表示为 $u(k-1)$,$z^{-2}$ 表示为 $u(k-2)$,得到差分方程:
$$
y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=u(k-1)-2u(k-2)
$$
当输入信号为单位序列时,$u(k)=\delta(k)$,代入得到:
$$
y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=\delta(k-1)-2\delta(k-2)
$$
根据此差分方程,可以使用递推法计算出系统的单位序列响应。
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