LTI方程 y(n)=0.2y(n-1)+0.08y(n-2)+2x(n),请确定它的阶跃相应s(n)
时间: 2023-11-19 10:06:13 浏览: 34
首先将 LTI 方程转换成 Z 变换域中的形式:
Y(z) = 0.2z⁻¹Y(z) + 0.08z⁻²Y(z) + 2X(z)
将阶跃信号表示为:
u(n) = {1, n≥0; 0, n<0}
则它的 Z 变换为:
U(z) = z⁻¹/(z-1)
将阶跃信号代入 LTI 方程,得到输出为:
Y(z) = (2U(z))/(1-0.2z⁻¹-0.08z⁻²)
将上式分解为部分分式:
Y(z) = A/(z-1) + B/(z-0.4) + C/[(z-0.4)²]
其中,
A = 1.4
B = 0.6
C = -0.2
对上式进行反 Z 变换,得到阶跃响应为:
s(n) = A + B*0.4ⁿ + C*n*0.4ⁿ
即:
s(n) = 1.4 + 0.6*0.4ⁿ - 0.2*n*0.4ⁿ
因此,LTI 方程的阶跃响应为 s(n) = 1.4 + 0.6*0.4ⁿ - 0.2*n*0.4ⁿ。
相关问题
编写matlab程序解决下面这个问题:因果LTI系统 y(n)=0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2) 求H(z)
根据因果LTI系统的定义,可以得到系统函数 $H(z)$:
$y(n) = 0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2)$
$Y(z) = 0.81z^{-2}Y(z) + X(z) - z^{-2}X(z)$
$Y(z)(1-0.81z^{-2}) = X(z)(1-z^{-2})$
$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1-z^{-2}}{1-0.81z^{-2}}$
在 MATLAB 中,可以使用以下代码计算 $H(z)$:
```matlab
syms z;
H = (1-z^-2)/(1-0.81*z^-2);
H = simplify(H)
```
运行结果:
```
H =
(z^2 - 1)/(z^2 - 0.81)
```
给定LTI系统y(n)=0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2),求冲激响应h(n),冲激响应z变换H(z),单位冲激响应u(n)
首先,我们来求解冲激响应$h(n)$,当输入为单位冲激函数$u(n)$时,输出为系统的冲激响应。因此:
当$n=0$时,$h(0)=1-0=1$;
当$n=1$时,$h(1)=0-0=0$;
当$n=2$时,$h(2)=0.81h(0)+1-0=1.81$;
当$n>2$时,$h(n)=0.81h(n-2)$。
综上所述,冲激响应$h(n)$为:
$$
h(n)=\begin{cases}
1, &n=0 \\
0, &n=1 \\
0.81h(n-2), &n>1
\end{cases}
$$
接下来,我们可以通过$Z$变换求解系统的冲激响应$H(z)$。将系统的差分方程变换为$Z$域的表达式,得到:
$$
Y(z)=0.81z^{-2}Y(z)+X(z)-z^{-2}X(z)
$$
移项得:
$$
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1-0.81z^{-2}+z^{-2}}=\frac{z^2}{z^2-0.81+1}
$$
因此,系统的冲激响应$H(z)$为:
$$
H(z)=\frac{z^2}{z^2-0.81+1}
$$
最后,我们来计算单位冲激响应$u(n)$。由于单位冲激函数$u(n)$等于1当$n=0$时,$u(n)$在$n>0$时等于0,因此:
$$
u(n)=\begin{cases}
1, &n=0 \\
0, &n>0
\end{cases}
$$