LTI方程 y(n)=0.2y(n-1)+0.08y(n-2)+2x(n),请确定它的阶跃相应s(n)

首先将 LTI 方程转换成 Z 变换域中的形式：

Y(z) = 0.2z⁻¹Y(z) + 0.08z⁻²Y(z) + 2X(z)

将阶跃信号表示为：

u(n) = {1, n≥0; 0, n<0}

则它的 Z 变换为：

U(z) = z⁻¹/(z-1)

将阶跃信号代入 LTI 方程，得到输出为：

Y(z) = (2U(z))/(1-0.2z⁻¹-0.08z⁻²)

将上式分解为部分分式：

Y(z) = A/(z-1) + B/(z-0.4) + C/[(z-0.4)²]

其中，

A = 1.4
B = 0.6
C = -0.2

对上式进行反 Z 变换，得到阶跃响应为：

s(n) = A + B*0.4ⁿ + C*n*0.4ⁿ

即：

s(n) = 1.4 + 0.6*0.4ⁿ - 0.2*n*0.4ⁿ

因此，LTI 方程的阶跃响应为 s(n) = 1.4 + 0.6*0.4ⁿ - 0.2*n*0.4ⁿ。

相关问题

编写matlab程序解决下面这个问题：因果LTI系统 y(n)=0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2) 求H(z)

根据因果LTI系统的定义，可以得到系统函数 $H(z)$：

$y(n) = 0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2)$

$Y(z) = 0.81z^{-2}Y(z) + X(z) - z^{-2}X(z)$

$Y(z)(1-0.81z^{-2}) = X(z)(1-z^{-2})$

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1-z^{-2}}{1-0.81z^{-2}}$

在 MATLAB 中，可以使用以下代码计算 $H(z)$：

syms z;
H = (1-z^-2)/(1-0.81*z^-2);
H = simplify(H)

运行结果：

H =
(z^2 - 1)/(z^2 - 0.81)

使用matlab求y(n)-y(n-1)+18y(n-2)=x(n)的离散时间系统的单位冲激响应h(n)

在MATLAB中，求解离散时间线性移不变系统（LTI）的一般差分方程如 \( y(n) - y(n-1) + 18y(n-2) = x(n) \) 的单位冲激响应 \( h(n) \)，通常需要使用状态空间分析（State Space Analysis）或差分方程的直接求解方法。

对于给定的二阶常系数线性差分方程，可以先将其转化为状态空间形式，然后利用`dde23`函数来求解。这里是一个简化的步骤：

1. **定义状态向量**：设 \( z_1(n) = y(n) \), \( z_2(n) = y(n-1) \)，则原方程可以写作状态方程的形式：
\[ \begin{bmatrix} z_1(n+1) \\ z_2(n+1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1(n) \\ z_2(n) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} x(n) \]

2. **初始条件**：由于\( z_1(0) = y(0)\) 和 \( z_2(0) = y(-1)\) 可能未知，一般假设 \( y(0) = 0 \) 或根据具体题目信息设置初值。

3. **定义输入**：单位冲激序列 \( u[n] = \delta[n] \)（通常表示为 `impulse`），即当 \( n=0 \) 时为1，其他地方为0。

4. **求解状态变量**：使用 `dde23` 函数，比如：

   A = [0 1; 1 -18];
   B = [0; 1];
   C = [1 0]; % 状态转移矩阵到输出的关系
   D = 0;     % 因为没有混合项，D为0
   T = 0:10;  % 时间点范围
   h = impulse(A,B,C,D,T);

5. **得到h(n)**：\( h(n) = z_1(n) \) 就是单位冲激响应。