给定LTI系统y(n)=0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2)，求冲激响应h(n)，冲激响应z变换H(z),单位冲激响应u(n)

首先，我们来求解冲激响应$h(n)$，当输入为单位冲激函数$u(n)$时，输出为系统的冲激响应。因此：

当$n=0$时，$h(0)=1-0=1$；

当$n=1$时，$h(1)=0-0=0$；

当$n=2$时，$h(2)=0.81h(0)+1-0=1.81$；

当$n>2$时，$h(n)=0.81h(n-2)$。

综上所述，冲激响应$h(n)$为：

$$
h(n)=\begin{cases}
1, &n=0 \\
0, &n=1 \\
0.81h(n-2), &n>1
\end{cases}
$$

接下来，我们可以通过$Z$变换求解系统的冲激响应$H(z)$。将系统的差分方程变换为$Z$域的表达式，得到：

$$
Y(z)=0.81z^{-2}Y(z)+X(z)-z^{-2}X(z)
$$

移项得：

$$
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1-0.81z^{-2}+z^{-2}}=\frac{z^2}{z^2-0.81+1}
$$

因此，系统的冲激响应$H(z)$为：

$$
H(z)=\frac{z^2}{z^2-0.81+1}
$$

最后，我们来计算单位冲激响应$u(n)$。由于单位冲激函数$u(n)$等于1当$n=0$时，$u(n)$在$n>0$时等于0，因此：

$$
u(n)=\begin{cases}
1, &n=0 \\
0, &n>0
\end{cases}
$$

相关问题

编写matlab程序解决下面这个问题：因果LTI系统 y(n)=0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2) 求H(z)

根据因果LTI系统的定义，可以得到系统函数 $H(z)$：

$y(n) = 0.81y(n-2)+x(n)-x(n-2)$

$Y(z) = 0.81z^{-2}Y(z) + X(z) - z^{-2}X(z)$

$Y(z)(1-0.81z^{-2}) = X(z)(1-z^{-2})$

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1-z^{-2}}{1-0.81z^{-2}}$

在 MATLAB 中，可以使用以下代码计算 $H(z)$：

syms z;
H = (1-z^-2)/(1-0.81*z^-2);
H = simplify(H)

运行结果：

H =
(z^2 - 1)/(z^2 - 0.81)

某因果线性时不变系统(LTI）由下面差分方程描述 y (n) =0.81y(n-2)+x(n) -x(n-2) 试求系统对单位阶跃u(n)的响应v(n)即单位阶跃响应）。用MATLAB代码表示。

根据差分方程，可以列出系统的传递函数：

H(z) = Y(z) / X(z) = 1 / (1 - 0.81z^-2 + z^-4)

对于单位阶跃输入u(n)，其z变换为：

U(z) = 1 / (1 - z^-1)

则系统的输出为：

V(z) = H(z) * U(z) = 1 / (1 - 0.81z^-2 + z^-4) * 1 / (1 - z^-1)

将V(z)展开，得到：

V(z) = (0.0191z^3 - 0.0574z^2 + 0.0574z - 0.0191) / (1 - 0.81z^-2 + z^-4)

根据部分分式分解，可以将V(z)表示为：

V(z) = (0.0044 / (z - 0.9) + 0.0047 / (z + 0.9) + 0.005 / (z - 0.3) - 0.0141 / (z + 0.3)) / (1 - 0.81z^-2 + z^-4)

对上式进行z变换逆变换，即可得到系统对单位阶跃的响应v(n)，MATLAB代码如下：

b = [0.0044, 0.0047, 0, 0.005, 0, 0, -0.0141, 0, 0];
a = [1, 0, 0, -0.81, 0, 0, 1, 0, -1];
n = 0:50;
h = filter(b, a, [1 zeros(1, 50)]);
stem(n, h);
xlabel('n');
ylabel('v(n)');

其中，b和a分别是传递函数的分子和分母系数，n为时间序列，h为系统的单位阶跃响应。