帮我列出详细步骤,某LTI离散系统差分方程为y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=f(k-1)-2f(k-2),求该系统的单位序列响应
时间: 2024-04-04 22:29:38 浏览: 43
好的,下面是具体的步骤:
1. 根据差分方程,得到系统的传递函数 $H(z)$,即:
$$
H(z)=\frac{Y(z)}{F(z)}=\frac{z^{-1}-3z^{-2}+2z^{-3}}{1-2z^{-2}}
$$
2. 将传递函数中的输入信号 $F(z)$ 替换成单位序列的 $U(z)$,即:
$$
H(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z^{-1}-3z^{-2}+2z^{-3}}{1-2z^{-2}}
$$
3. 根据 $z$ 变换的反演公式,将传递函数 $H(z)$ 转化为差分方程:
$$
y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=u(k-1)-2u(k-2)
$$
其中,$u(k)$ 表示输入信号,当输入为单位序列时,$u(k)=\delta(k)$。
4. 根据得到的差分方程,可以使用递推法计算系统的单位序列响应 $h(k)$。具体地,首先假设系统的初值为 $y(-2)=y(-1)=0$,然后按照如下递推公式计算 $h(k)$:
$$
h(k)-3h(k-1)+2h(k-2)=\delta(k-1)-2\delta(k-2)
$$
其中,$h(-2)=h(-1)=0$。
5. 最后得到系统的单位序列响应 $h(k)$,即为所求。
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某LTI离散系统差分方程为y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=f(k-1)-2f(k-2),求该系统的单位序列响应
该离散系统的差分方程为:
$$
y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=f(k-1)-2f(k-2)
$$
其中,$f(k)$ 为输入信号,$y(k)$ 为输出信号。
我们知道,单位序列的 $z$ 变换为 $\frac{1}{1-z^{-1}}$,因此该系统的传递函数为:
$$
H(z)=\frac{Y(z)}{F(z)}=\frac{z^{-1}-3z^{-2}+2z^{-3}}{1-2z^{-2}}
$$
为了求出系统的单位序列响应,我们需要将传递函数中的输入信号 $F(z)$ 替换成单位序列的 $U(z)$,即:
$$
H(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z^{-1}-3z^{-2}+2z^{-3}}{1-2z^{-2}}
$$
将 $z$ 变换中的 $z^{-1}$ 表示为 $y(k-1)$,$z^{-2}$ 表示为 $y(k-2)$,$z^{-1}$ 表示为 $u(k-1)$,$z^{-2}$ 表示为 $u(k-2)$,得到差分方程:
$$
y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=u(k-1)-2u(k-2)
$$
当输入信号为单位序列时,$u(k)=\delta(k)$,代入得到:
$$
y(k)-3y(k-1)+2y(k-2)=\delta(k-1)-2\delta(k-2)
$$
根据此差分方程,可以使用递推法计算出系统的单位序列响应。
1.已知某离散LTI系统的差分方程为 y[k] -1.143y[k-1] +0.4128y[k-2] =0.0675x[k] +0.1349x[k-1]+0.0675x[k - 2]
这是一个离散时间线性时不变系统的差分方程表示。该方程描述了输出序列 y[k] 如何依赖于输入序列 x[k] 和前几个时刻的输出序列 y[k-1] 和 y[k-2]。具体地,该方程表示为:
y[k] - 1.143y[k-1] + 0.4128y[k-2] = 0.0675x[k] + 0.1349x[k-1] + 0.0675x[k-2]
其中:
- y[k] 是当前时刻的输出
- y[k-1] 是上一个时刻的输出
- y[k-2] 是上上个时刻的输出
- x[k] 是当前时刻的输入
- x[k-1] 是上一个时刻的输入
- x[k-2] 是上上个时刻的输入
这个方程描述了系统的动态行为,它可以用于分析和设计离散时间系统的性质和特性。