给定n, a0, b0,求出所有数对(a, b)使得如果 a0 * x + b0 * y 能被n整除,那么 a * x + b * y 也能被n整除。
时间: 2023-05-31 10:20:33 浏览: 149
### 回答1:
题目描述:
给定n, a, b,求出所有数对(a, b)使得如果 a * x + b * y 能被n整除,那么 a * x + b * y 也能被n整除。
解题思路:
根据题目要求,我们可以得到一个结论:如果 a * x + b * y 能被n整除,那么 a * x + b * y 也能被n整除,当且仅当 n 是 a 和 b 的最大公约数的倍数,并且 a 和 b 也是 n 的倍数。
因此,我们可以先求出 a 和 b 的最大公约数 d,然后再枚举 a 和 b,判断是否满足上述条件即可。
代码实现:
### 回答2:
题目中给出了两个数a0和b0,要求我们找出所有的数对(a,b),满足a和b的线性组合可以被n整除,当且仅当a0和b0的线性组合可以被n整除。
首先,我们考虑a0和b0的最大公因数d,假设d不是n的因子,那么根据裴蜀定理,存在x和y使得a0 * x + b0 * y = d,由于d不是n的因子,所以a0 * nx + b0 * ny就不是n的因子,因此,对于所有的a和b,a * nx + b * ny也不是n的因子,所以无论a和b满不满足条件,a0 * x + b0 * y都不会被n整除。
因此,要想满足a * x + b * y能被n整除,就必须满足a0 * x + b0 * y能被n整除,也就是说a和b必须是a0和b0的倍数。
这样,我们就可以列出方程组:
a = a0 * p
b = b0 * q
将a和b代入条件a * x + b * y能被n整除,得到:
a0 * x * p + b0 * y * q
由于a0 * x + b0 * y能被n整除,设其为kn,即:
a0 * x + b0 * y = k * n
将其代入上式,得到:
a * x + b * y = k * n * p
因为k、n、p均为整数,所以k * n * p也必然为整数,所以a * x + b * y能被n整除。
综上所述,求解该题,只需要枚举所有a0的因子,对于每个因子p,求出b的取值q,即可得到所有的解。时间复杂度为O(d(n)),其中d(n)为n的因子个数。
### 回答3:
题目大意:给定整数 n,a0,b0,求出所有的整数数对 (a,b),满足对于任意的整数 x,y,当 a0 * x 和 b0 * y 均能被 n 整除时,a * x 和 b * y 也必须能被 n 整除。
解题思路:
首先,我们可以将题目中的条件进一步转化为:
对于任意的整数 x,y,当 a0 * x \% n = 0 且 b0 * y \% n = 0 时,a * x \% n = 0 且 b * y \% n = 0。
我们可以通过这个条件对 a 和 b 进行分类讨论,讨论它们分别除以 a0 和 b0 的余数。考虑到 a 和 b 均为整数,因此 a 和 b 每次增加 a0 和 b0 应该是一个合理的选择。
不妨先假设 a 和 b 均为非负整数。具体而言,我们可以首先找到 a0 和 n 的最大公约数 d,然后枚举 a 在 [0,n) 中的所有取值,计算其除以 a0 的余数 r,如果 r 为 0 或者 r 为 d 的倍数,那么我们将 b 对应地选取为满足 b \% b0 = (a * b0 / d) \% b0 的最小非负整数。其中,a * b0 / d 可以通过使用扩展欧几里得算法在 O(log n) 的时间内求出。
上述选择可以保证对于任意的 x 和 y,当 a0 * x \% n = 0 且 b0 * y \% n = 0 时,a * x \% n = 0 且 b * y \% n = 0。因此,我们只需要在每一个 a 对应的 b 中选择最小的一个作为实际的答案。
需要注意的是,对于 a 和 b 可能有负数的情况,我们可以分别找到它们除以 a0 和 b0 的余数,然后转化为第一种情况来进行计算。
时间复杂度分析:这个算法的时间复杂度为 O(n log n),其中最耗时的部分是扩展欧几里得算法。因为任意两个整数的最大公约数可以通过 log n 次递归求解,每次递归中进行的操作均为常数时间,所以总时间复杂度为 O(n log n)。
代码参考: